Последовательно компактное пространство - Sequentially compact space - Wikipedia

В математика, а топологическое пространство Икс является последовательно компактный если каждый последовательность очков в Икс имеет сходящийся подпоследовательность, сходящаяся к точке в Икс.

Каждый метрическое пространство естественно топологическое пространство, а для метрических пространств понятия компактность и последовательная компактность эквивалентны (если предположить счетный выбор ). Однако существуют секвенциально компактные топологические пространства, не являющиеся компактными, и компактные топологические пространства, не являющиеся секвенциально компактными.

Примеры и свойства

Пространство всего действительные числа с стандартная топология не компактен последовательно; последовательность (s_п) предоставлено s_п = п для всех натуральные числа п - последовательность, не имеющая сходящейся подпоследовательности.

Если пространство - это метрическое пространство, то она секвенциально компактна тогда и только тогда, когда она компактный.^[1] В первый несчетный порядковый номер с топология заказа является примером секвенциально компактного топологического пространства, которое не является компактным. В товар из ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ копии замкнутый единичный интервал является примером компактного пространства, которое не является секвенциально компактным.^[2]

Связанные понятия

Топологическое пространство Икс как говорят предельная точка компактная если каждое бесконечное подмножество Икс имеет предельная точка в Икс, и счетно компактный если каждый счетный открытая крышка имеет конечное подпокрытие. метрическое пространство, понятия секвенциальной компактности, предельной компактности, счетной компактности и компактность все эквивалентны (если предположить, что аксиома выбора ).

В последовательное (хаусдорфово) пространство секвенциальная компактность эквивалентна счетной компактности.^[3]

Существует также понятие последовательной компактификации с одной точкой - идея состоит в том, что все несходящиеся последовательности должны сходиться к дополнительной точке.^[4]

Смотрите также

• Теорема Больцано – Вейерштрасса

Примечания

1. Уиллард, 17Г, стр. 125.
2. Стин и Зеебах, пример 105С. 125—126.
3. Энгелькинг, Общая топология, Теорема 3.10.31
   К.П. Харт, Джун-ити Нагата, Дж. Э.Воган (редакторы), Энциклопедия общей топологии, глава d3 (П. Саймон)
4. Браун, Рональд, "Последовательно правильные отображения и последовательная компактификация", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Рекомендации

• Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
• Стин, Линн А. и Seebach, J. Arthur Jr.; Контрпримеры в топологии, Холт, Райнхарт и Уинстон (1970). ISBN  0-03-079485-4.
• Уиллард, Стивен (2004). Общая топология. Dover Publications. ISBN  0-486-43479-6.