Оскулирующий круг - Osculating circle

"Целующиеся круги" перенаправляются сюда. О теореме Декарта о взаимно касательных (целующихся) кругах см. Теорема Декарта.

Прикосновение круга

Оскулирующие круги Архимедова спираль, вложенные Теорема Тэта – Кнезера. «Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, где круги особенно близки друг к другу».^[1]

В дифференциальная геометрия кривых, то соприкасающийся круг достаточно гладкой плоскости изгиб в данный момент п на кривой традиционно определяется как круг, проходящий через п и пара дополнительных точек на кривой бесконечно мало рядом с п. Его центр находится на внутреннем нормальная линия, и это кривизна определяет кривизну данной кривой в этой точке. Этот круг, единственный среди всех касательные круги в данной точке, наиболее близко подходящей к кривой, был назван Circus osculans (На латыни «круг поцелуев») Лейбниц.

Центр и радиус соприкасающегося круга в данной точке называются центр кривизны и радиус кривизны кривой в этой точке. Геометрическая конструкция была описана Исаак Ньютон в его Principia:

В любых местах задана скорость, с которой тело описывает данную фигуру посредством сил, направленных к некоторому общему центру: найти этот центр.

— Исаак Ньютон, Principia; ПРЕДЛОЖЕНИЕ V. ПРОБЛЕМА I.

Нетехническое описание

Представьте себе машину, движущуюся по извилистой дороге по огромной плоской плоскости. Внезапно в какой-то момент на дороге рулевое колесо фиксируется в своем текущем положении. После этого машина движется по кругу, «целуя» дорогу в точке блокировки. В кривизна круга совпадает с дорогой в этой точке. Этот круг представляет собой соприкасающийся круг дорожного поворота в этой точке.

Математическое описание

Смотрите также: Кривизна

Позволять ${\displaystyle \gamma }$(s) быть регулярная параметрическая плоская кривая, куда s это длина дуги (в естественный параметр ). Это определяет единичный касательный вектор Т(s), единичный вектор нормали N(s), знаковая кривизна к (с) и радиус кривизны R (s) в каждой точке, для которой s состоит:

${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$

Предположим, что п это точка на γ куда k ≠ 0. Соответствующим центром кривизны является точка Q на расстоянии р вдоль N, в том же направлении, если k положительно и в обратном направлении, если k отрицательный. Круг с центром в Q и с радиусом р называется соприкасающийся круг к кривой γ в момент п.

Если C регулярная пространственная кривая, то соприкасающийся круг определяется аналогичным образом, используя вектор главной нормали N. Он лежит в соприкасающаяся плоскость, плоскость, натянутая на касательную и главную нормаль Т и N в момент п.

Плоская кривая также может быть задана в другой регулярной параметризации

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,}$

где обычный означает, что ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ для всех ${\displaystyle t}$. Тогда формулы для кривизны со знаком k(т) нормальный единичный вектор N(т) радиус кривизны р(т), а центр Q(т) соприкасающегося круга

${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}{{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|\qquad \qquad \mathrm {and} \qquad \qquad Q(t)\,=\,\gamma (t)\,+\,{\frac {1}{k(t)\cdot \|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,.}$

Декартовы координаты

Мы можем получить центр соприкасающейся окружности в декартовых координатах, если подставим ${\displaystyle t=x}$ и ${\displaystyle y=f(x)}$ для некоторых ж функция. Если мы проведем вычисления, то результаты для координат X и Y центра соприкасающегося круга будут:

${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\qquad \qquad {\text{and}}\qquad \qquad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$

Характеристики

Для кривой C заданный достаточно гладкими параметрическими уравнениями (дважды непрерывно дифференцируемыми), соприкасающаяся окружность может быть получена с помощью предельной процедуры: это предел окружностей, проходящих через три различные точки на C по мере приближения этих точек п.^[2] Это полностью аналогично построению касательная кривой как предел секущих через пары различных точек на C приближающийся п.

Окружающий круг S к плоской кривой C в регулярной точке п можно охарактеризовать следующими свойствами:

• Круг S проходит через п.
• Круг S и кривая C иметь общая касательная линия на п, а значит, и обычная нормальная линия.
• Рядом с п, расстояние между точками кривой C и круг S в нормальном направлении затухает как куб или более высокая степень расстояния до п в тангенциальном направлении.

Обычно это выражается как «кривая и ее соприкасающийся круг имеют второй или более высокий порядок. контакт " в п. Грубо говоря, векторные функции, представляющие C и S согласуются вместе со своими первой и второй производными при п.

Если производная кривизны по s отличен от нуля в п затем соприкасающийся круг пересекает кривую C в п. Точки п при которых производная кривизны равна нулю, называются вершины. Если п является вершиной, то C и его соприкасающийся круг имеют контакт порядка не менее трех. Если к тому же кривизна имеет отличную от нуля локальный максимум или минимум на п затем соприкасающийся круг касается кривой C в п но не пересекает его.

Кривая C может быть получен как конверт однопараметрического семейства его соприкасающихся окружностей. Их центры, то есть центры кривизны, образуют другую кривую, называемую эволюционировать из C. Вершины C соответствуют особым точкам на его эволюции.

Внутри любой дуги кривой C в пределах которого кривизна монотонна (то есть вдали от любого вершина кривой) все соприкасающиеся круги не пересекаются и вложены друг в друга. Этот результат известен как Теорема Тейта-Кнезера.^[1]

Примеры

Парабола

Прилегающий круг параболы в вершине имеет радиус 0,5 и контакт четвертого порядка.

Для параболы

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}}$

радиус кривизны

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|}$

В вершине ${\displaystyle \gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ радиус кривизны равен R (0) = 0,5 (см. рисунок). Здесь парабола имеет контакт четвертого порядка со своим соприкасающимся кругом. Для больших т радиус кривизны увеличивается ~ т³, то есть кривая все больше выпрямляется.

Кривая Лиссажу

А Кривая Лиссажу с соотношением частот (3: 2) можно параметризовать следующим образом

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{pmatrix}}\,.}$

Он подписал кривизну k(т), нормальный единичный вектор N(т) и радиус кривизны р(т) предоставлено

${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}}\,,}$

${\displaystyle N(t)\,=\,{\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6})^{3/2}}{6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}}\right|\,.}$

См. Рисунок для анимации. Здесь "вектор ускорения" - вторая производная ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\gamma (s)}{\mathrm {d} s^{2}}}}$ с уважением к длина дуги ${\displaystyle s}$.

Циклоида

Циклоида (синяя), ее соприкасающийся круг (красный) и эволюция (зеленый).

А циклоида с радиусом r можно параметризовать следующим образом:

${\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}r(t-\sin t)\\r(1-\cos t)\end{pmatrix}}}$

Его кривизна определяется следующей формулой:^[3]

${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}{4r}}}$

который дает:

${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {1}{2}}t\right)\right|}}}$

Смотрите также

• Теорема об упаковке круга
• Оскулирующая кривая
• Оскулирующая сфера

Примечания

1. Гиз, Этьен; Табачников Сергей; Тиморин, Владлен (2013). «Оскулирующие кривые: вокруг теоремы Тейта-Кнезера». Математический интеллект. 35 (1): 61–66. arXiv:1207.5662. Дои:10.1007 / s00283-012-9336-6. МИСТЕР  3041992. S2CID  18183204.
2. Собственно, точка п плюс два дополнительных очка, по одному с каждой стороны п Сделаю. См. Lamb (онлайн): Гораций Лэмб (1897). Элементарный курс исчисления бесконечно малых. University Press. п.406. соприкасающийся круг.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида». MathWorld.

дальнейшее чтение

Некоторые исторические заметки по изучению кривизны см.

• Граттан-Гиннесс и Х. Дж. М. Бос (2000). От исчисления к теории множеств 1630-1910: вводная история. Издательство Принстонского университета. п. 72. ISBN  0-691-07082-2.
• Рой Портер, редактор (2003). Кембриджская история науки: v4 - Наука восемнадцатого века. Издательство Кембриджского университета. п. 313. ISBN  0-521-57243-6.

По применению к маневрирующим транспортным средствам см.

• Джей Си Александр и Дж. Х. Мэддокс (1988): О маневрировании автомобилей Дои:10.1137/0148002
• Мюррей С. Кламкин (1990). Проблемы прикладной математики: отрывки из обзора SIAM. Общество промышленной и прикладной математики. п. 1. ISBN  0-89871-259-9.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Оскулирующий круг». MathWorld.
• math3d: osculating_circle