Кривая Лиссажу - Lissajous curve

Фигура Лиссажу, созданная высыпанием песка из контейнера в конце Маятник Блэкберна

Названный в честь Жюль Антуан Лиссажу, а Кривая Лиссажу /ˈлɪsəʒu/, также известный как Фигура Лиссажу или же Кривая Боудитча /ˈбаʊdɪtʃ/, - график системы параметрические уравнения

{ displaystyle x = A sin (at + delta), quad y = B sin (bt),}

которые описывают сложное гармоническое движение. Эта семья кривые был исследован Натаниэль Боудич в 1815 г., а позже более подробно Жюль Антуан Лиссажу в 1857 г.

Внешний вид фигуры очень чувствителен к соотношению $а / б$ . Для отношения 1 цифра представляет собой эллипс, с особыми случаями, включая круги ( $А = B$ , $δ = π / 2$ радианы ) и линии ( $δ = 0$ ). Еще одна простая фигура Лиссажу - это парабола ( $б / а = 2$ , $δ = π / 4$ ). Другие соотношения дают более сложные кривые, которые замыкаются, только если $а / б$ является рациональный. Визуальная форма этих кривых часто напоминает трехмерную морской узел, и действительно многие виды узлов, в том числе известные как Узлы Лиссажу, проецируются на самолет в виде фигур Лиссажу.

Визуально соотношение $а / б$ определяет количество «лепестков» фигуры. Например, соотношение 3/1 или же 1/3 создает фигуру с тремя основными лепестками (см. изображение). Точно так же соотношение 5/4 дает фигуру с пятью горизонтальными лепестками и четырьмя вертикальными лепестками. Рациональные отношения дают замкнутые (связанные) или «неподвижные» фигуры, тогда как иррациональные отношения создают фигуры, которые кажутся вращающимися. Соотношение $А / B$ определяет относительное отношение ширины к высоте кривой. Например, соотношение 2/1 производит фигуру, которая вдвое шире, чем высокая. Наконец, значение $δ$ определяет кажущийся угол "поворота" фигуры, рассматриваемой как трехмерная кривая. Например, $δ = 0$ производит $Икс$ и $у$ компоненты, которые точно совпадают по фазе, поэтому результирующая фигура выглядит как кажущаяся трехмерная фигура, если смотреть прямо (0 °). Напротив, любое ненулевое $δ$ создает фигуру, которая кажется повернутой влево-вправо или вверх-вниз (в зависимости от соотношения $а / б$ ).

Фигура Лиссажу на осциллограф, отображая соотношение 1: 3 между частотами вертикального и горизонтального синусоидальных входов соответственно. Эта фигура Лиссажу была использована в логотипе Австралийская радиовещательная корпорация

Круг - это простая кривая Лиссажу

Фигуры Лиссажу, где $а = 1$ , $б = N$ ( $N$ это натуральное число ) и

{ displaystyle delta = { frac {N-1} {N}} { frac { pi} {2}}}

находятся Полиномы Чебышева первой степени $N$ . Это свойство используется для создания набора точек, называемых Падуя очки, при котором функция может быть выбрана для вычисления либо двумерной интерполяции, либо квадратуры функции по области $[-1,1] \times [-1,1]$ .

Связь некоторых кривых Лиссажу с полиномами Чебышева более ясна для понимания того, выражается ли кривая Лиссажу, порождающая каждую из них, с помощью функций косинуса, а не функций синуса.

{ Displaystyle х = соз (т), четырехъядерный у = соз (Nt)}

Примеры

Анимация, показывающая адаптацию кривой в виде отношения

а / б

увеличивается с 0 до 1

Анимация показывает адаптацию кривой с непрерывным увеличением $а / б$ дробь от 0 до 1 с шагом 0,01 ( $δ = 0$ ).

Ниже приведены примеры фигур Лиссажу со странным натуральное число $а$ , даже натуральное число $б$ , и $| а - б | = 1$ .

$δ = π / 2$ , $а = 1$ , $б = 2$ (1:2)
$δ = π / 2$ , $а = 3$ , $б = 2$ (3:2)
$δ = π / 4$ , $а = 3$ , $б = 4$ (3:4)
$δ = π / 4$ , $а = 5$ , $б = 4$ (5:4)

Поколение

До появления современного электронного оборудования кривые Лиссажу можно было генерировать механически с помощью гармонограф.

Практическое применение

Кривые Лиссажу также могут быть построены с использованием осциллограф (как показано на рисунке). An схема осьминога может использоваться для демонстрации форма волны изображения на осциллографе. Два синусоидальных входа со сдвигом фазы подаются на осциллограф в режиме X-Y, и фазовое соотношение между сигналами представлено в виде фигуры Лиссажу.

В мире профессионального звука этот метод используется для анализа в реальном времени фазового соотношения между левым и правым каналами стереофонического аудиосигнала. На более крупных и сложных консолях микширования звука для этой цели может быть встроен осциллограф.

На осциллографе полагаем $Икс$ это CH1 и $у$ это CH2, $А$ - амплитуда CH1 и $B$ - амплитуда CH2, $а$ - частота CH1 и $б$ частота канала CH2, поэтому $а / б$ - отношение частот двух каналов, а $δ$ - фазовый сдвиг канала CH1.

Чисто механическое применение кривой Лиссажу с $а = 1$ , $б = 2$ находится в приводном механизме Марс Свет Тип ламп с колеблющимся лучом, популярный на железных дорогах в середине 1900-х годов. Балка в некоторых версиях имеет на своей стороне однобокий узор в виде восьмерки.

Заявление на случай $а = б$

На этом рисунке обе входные частоты идентичны, но разница фаз между ними создает форму эллипс.

Вершина: Выходной сигнал как функция времени.
Середина: Входной сигнал как функция времени.
Нижний: Результирующая кривая Лиссажу, когда вывод отображается как функция ввода.
В этом конкретном примере, поскольку выходной сигнал сдвинут по фазе на 90 градусов относительно входа, кривая Лиссажу представляет собой круг и вращается против часовой стрелки.

Когда вход в Система LTI синусоидальный, выходной сигнал синусоидальный с той же частотой, но может иметь другую амплитуду и некоторые сдвиг фазы. Используя осциллограф который может отображать один сигнал относительно другого (в отличие от одного сигнала относительно времени), чтобы построить график вывода системы LTI относительно ввода системы LTI, создает эллипс, который является фигурой Лиссажу для особого случая $а = б$ . В соотношение сторон результирующего эллипса является функцией фазового сдвига между входом и выходом, с соотношением сторон 1 (идеальный круг), соответствующим фазовому сдвигу на ± 90 °, и соотношением сторон ∞ (линия), соответствующим фазе сдвиг 0 ° или 180 °.^{[нужна цитата ]}

На рисунке ниже показано, как фигура Лиссажу изменяется при различных фазовых сдвигах. Все фазовые сдвиги отрицательны, так что задерживать семантика может использоваться с причинный Система LTI (обратите внимание, что −270 ° эквивалентно + 90 °). Стрелки показывают направление вращения фигуры Лиссажу.^{[нужна цитата ]}

Чистый фазовый сдвиг влияет на эксцентриситет овала Лиссажу. Анализ овала позволяет сдвиг фазы от Система LTI быть измеренным ..

В машиностроении

Кривая Лиссажу используется в экспериментальных испытаниях, чтобы определить, можно ли правильно отнести устройство к категории мемристор.^{[нужна цитата ]} Он также используется для сравнения два различных электрических сигналов: известный опорный сигнал и сигнал, подлежащий испытанию.^[1]^[2]

В культуре

В кино

Воспроизвести медиа

Научно-фантастический стиль анимация Лиссажу

Фигуры Лиссажу иногда отображались на осциллографах, предназначенных для моделирования высокотехнологичного оборудования в научно-фантастических телешоу и фильмах 1960-х и 1970-х годов.^[3]

В последовательность заголовков к Джон Уитни за Альфред Хичкок фильм 1958 года Головокружение основан на фигурах Лиссажу.^[4]

В эпизоде ближе к концу эпизода Коломбо, озаглавленного «Сделай мне идеальное убийство», детектив сидит и смотрит кривые Лиссажу, отображаемые под музыку на мониторах в телевизоре за пределами вещательного фургона.

Логотипы компании

Фигуры Лиссажу иногда используются в графический дизайн в качестве логотипы. Примеры включают:

В Австралийская радиовещательная корпорация ( $а = 1$ , $б = 3$ , $δ = π / 2$ )^[5]
В Лаборатория Линкольна в Массачусетский технологический институт ( $а = 3$ , $б = 4$ , $δ = π / 2$ )^[6]
В Университет электросвязи, Япония ( $а = 5$ , $б = 6$ , $δ = π / 2$ ).^{[нужна цитата ]}
Дисней Фильмы где угодно приложение для потокового видео использует стилизованную версию кривой

В современном искусстве

В Дадаист художник Макс Эрнст раскрашенные фигуры Лиссажу непосредственно, размахивая проколотым ведром с краской над холстом.^[7]

Смотрите также

Примечания

^ Палмер, Кеннет; Риджуэй, Тим; Аль-Рави, Омар; Джонсон, Ян; Пуллис, Майкл (сентябрь 2011 г.). «Фигуры Лиссажу: инженерный инструмент для анализа первопричин отдельных случаев - предварительная концепция». Журнал экстракорпоральных технологий. 43 (3): 153–156. ISSN 0022-1058. ЧВК 4679975. PMID 22164454.
^ "Кривые Лиссажу". datagenetics.com. Получено 2020-07-10.
^ «Вдали от фигур Лиссажу». Новый ученый. Reed Business Information: 77. 24 сентября 1987 г. ISSN 0262-4079.
^ "Вертиго принесло компьютерную графику в кино?".
^ "Азбука фигур Лиссажу".
^ "Логотип лаборатории Линкольна". Лаборатория Линкольна Массачусетского технологического института. 2008 г.. Получено 2008-04-12.
^ Кинг, М. (2002). «От Макса Эрнста до Эрнста Маха: эпистемология в искусстве и науке» (PDF). Получено 17 сентября 2015.

внешняя ссылка

Кривая Лиссажу в Mathworld

Интерактивные демонстрации

3D-апплеты Java, изображающие построение кривых Лиссажу на осциллографе:
- Руководство от НХМФЛ
- Апплет физики Чиу-король Нг
Детальное моделирование фигур Лиссажу Рисование фигур Лиссажу с помощью интерактивных ползунков в Javascript
Кривые Лиссажу: интерактивное моделирование графических представлений музыкальных интервалов и вибрирующих струн
Генератор интерактивных кривых Лиссажу - Апплет Javascript с использованием JSXGraph
Анимированные фигуры Лиссажу

[1] Палмер, Кеннет; Риджуэй, Тим; Аль-Рави, Омар; Джонсон, Ян; Пуллис, Майкл (сентябрь 2011 г.). «Фигуры Лиссажу: инженерный инструмент для анализа первопричин отдельных случаев - предварительная концепция». Журнал экстракорпоральных технологий. 43 (3): 153–156. ISSN 0022-1058. ЧВК 4679975. PMID 22164454.

[2] "Кривые Лиссажу". datagenetics.com. Получено 2020-07-10.

[Information1987-3] «Вдали от фигур Лиссажу». Новый ученый. Reed Business Information: 77. 24 сентября 1987 г. ISSN 0262-4079.

[4] "Вертиго принесло компьютерную графику в кино?".

[5] "Азбука фигур Лиссажу".

[6] "Логотип лаборатории Линкольна". Лаборатория Линкольна Массачусетского технологического института. 2008 г.. Получено 2008-04-12.

[7] Кинг, М. (2002). «От Макса Эрнста до Эрнста Маха: эпистемология в искусстве и науке» (PDF). Получено 17 сентября 2015.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]