Геометрическая теория функций - Geometric function theory

Геометрическая теория функций это изучение геометрический свойства аналитические функции. Фундаментальным результатом теории является Теорема римана отображения.

Темы геометрической теории функций

Ниже приведены некоторые из наиболее важных тем в геометрической теории функций:^[1][2]

Конформные карты

Основная статья: Конформная карта

Прямоугольная сетка (вверху) и ее изображение под конформной картой ж (Нижний). Видно, что ж отображает пары линий, пересекающихся под углом 90 °, в пары кривых, все еще пересекающиеся под углом 90 °.

А конформная карта это функция который сохраняет углы локально. В наиболее частом случае функция имеет домен и классифицировать в комплексная плоскость.

Более формально карта,

${displaystyle f:Uightarrow Vqquad }$ с ${displaystyle U,Vsubset mathbb {C} ^{n}}$

называется конформный (или же сохраняющий угол) в точке ${displaystyle u_{0}}$ если он сохраняет ориентированные углы между кривые через ${displaystyle u_{0}}$ в отношении их ориентация (т.е. не только величину угла). Конформные карты сохраняют как углы, так и форму бесконечно малых фигур, но не обязательно их размер или кривизна.

Квазиконформные карты

Основная статья: Квазиконформное отображение

В математике комплексный анализ, а квазиконформное отображение, представлен Грётч (1928) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGrötzsch1928 (помощь) и назван Альфорс (1935) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFAhlfors1935 (помощь), является гомеоморфизмом между плоскими областями, который в первом порядке переводит маленькие окружности в маленькие эллипсы ограниченного эксцентриситет.

Интуитивно пусть ж : D → D'Быть ориентация -сохранение гомеоморфизм между открытые наборы в плоскости. Если ж является непрерывно дифференцируемый, то это K-квазиконформно, если производная от ж в каждой точке отображает круги в эллипсы с эксцентриситетом, ограниченным K.

Если K равно 0, то функция конформный.

Аналитическое продолжение

Аналитическое продолжение натурального логарифма (мнимая часть)

Аналитическое продолжение это метод расширения домен данного аналитическая функция. Аналитическое продолжение часто позволяет определить дальнейшие значения функции, например, в новой области, где бесконечная серия представление, в терминах которого оно изначально определено, становится расходящимся.

Однако пошаговая техника продолжения может столкнуться с трудностями. Они могут иметь по существу топологический характер, приводя к несогласованности (определение более одного значения). В качестве альтернативы они могут быть связаны с наличием математические особенности. Случай несколько сложных переменных сильно отличается, так как сингулярности не могут быть изолированными точками, и его исследование явилось основной причиной развития когомологии пучков.

Геометрические свойства многочленов и алгебраических функций

Темы в этой области включают римановы поверхности для алгебраических функций и нули для алгебраических функций.

Риманова поверхность

Основная статья: Риманова поверхность

А Риманова поверхность, впервые изученный и названный в честь Бернхард Риманн, является одномерным комплексное многообразие. Римановы поверхности можно рассматривать как деформированные версии комплексная плоскость: локально около каждой точки они выглядят как пятна комплексной плоскости, но глобальные топология может быть совсем другим. Например, они могут выглядеть как сфера или тор или несколько листов, склеенных между собой.

Суть римановых поверхностей в том, что голоморфные функции можно определить между ними. В настоящее время римановы поверхности считаются естественной средой для изучения глобального поведения этих функций, особенно многозначные функции такой как квадратный корень и другие алгебраические функции, или логарифм.

Экстремальные проблемы

Темы в этой области включают «Принцип максимума; лемма Шварца, принцип Линделёфа, аналоги и обобщения».^[3]

Однолистные и многовалентные функции

Основная статья: Однолистная функция

А голоморфная функция на открытое подмножество из комплексная плоскость называется однозначный если это инъективный.

Можно доказать, что если ${displaystyle G}$ и ${displaystyle Omega }$ два открытых связаны наборы в комплексной плоскости, и

${displaystyle f:G o Omega }$

- однолистная функция такая, что ${displaystyle f(G)=Omega }$ (то есть, ${displaystyle f}$ является сюръективный ), то производная от ${displaystyle f}$ никогда не равно нулю, ${displaystyle f}$ является обратимый, и его обратное ${displaystyle f^{-1}}$ также голоморфен. Более того, у одного Правило цепи

Альтернативные термины в общем использовании: Schlicht(это по-немецки означает простой, простой) и просто. Замечательный факт, фундаментальный для теории однолистных функций, состоит в том, что однолистность по существу сохраняется при равномерной сходимости.

Важные теоремы

Теорема римана отображения

Позволять ${displaystyle z_{0}}$ быть точкой в ​​односвязной области ${displaystyle D_{1}(D_{1}eq mathbb {C} )}$ и ${displaystyle D_{1}}$ имеющий не менее двух граничных точек. Тогда существует единственная аналитическая функция ${displaystyle w=f(z)}$ отображение ${displaystyle D_{1}}$ биективно в открытый единичный диск ${displaystyle |w|<1}$ такой, что ${displaystyle f(z_{0})=0}$ и ${displaystyle f'(z_{0})>0}$.

Несмотря на то что Теорема Римана об отображении демонстрирует существование функции отображения, на самом деле она не выставлять эта функция. Пример приведен ниже.

На приведенном выше рисунке рассмотрим ${displaystyle D_{1}}$ и ${displaystyle D_{2}}$ как две односвязные области, отличные от ${displaystyle mathbb {C} }$. В Теорема римана отображения обеспечивает существование ${displaystyle w=f(z)}$ отображение ${displaystyle D_{1}}$ на единичный диск и наличие ${displaystyle w=g(z)}$ отображение ${displaystyle D_{2}}$ на единичный диск. Таким образом ${displaystyle g^{-1}f}$ взаимно однозначное отображение ${displaystyle D_{1}}$ на ${displaystyle D_{2}}$.Если мы сможем показать, что ${displaystyle g^{-1}}$, и, следовательно, композиция аналитична, тогда мы имеем конформное отображение ${displaystyle D_{1}}$ на ${displaystyle D_{2}}$, доказывая, что "любые две односвязные области, отличные от всей плоскости ${displaystyle mathbb {C} }$ могут быть конформно отображены друг на друга ".

Лемма Шварца

Основная статья: Лемма Шварца

В Лемма Шварца, названный в честь Герман Амандус Шварц, является результатом комплексный анализ о голоморфные функции от открыто единичный диск себе. Лемма менее известна, чем более сильные теоремы, такие как Теорема римана отображения, что помогает доказать. Однако это один из простейших результатов, фиксирующих жесткость голоморфных функций.

Заявление

Лемма Шварца. Позволять D = {z : |z| <1} быть открытым единичный диск в комплексная плоскость C сосредоточен на источник и разреши ж : D → D быть голоморфное отображение такой, что ж(0) = 0.

Тогда |ж(z)| ≤ |z| для всех z в D и |f ′(0)| ≤ 1.

Более того, если |ж(z)| = |z| для каких-то ненулевых z или |f ′(0) | = 1, то ж(z) = az для некоторых а в C с |а| = 1.

Принцип максимума

Основная статья: Принцип максимума

В принцип максимума является свойством решений некоторых уравнения в частных производных, из эллиптический и параболический типы. Грубо говоря, это говорит о том, что максимум функции в домен находится на границе этой области. В частности, сильный Принцип максимума гласит, что если функция достигает своего максимума внутри области, функция всегда является постоянной. В слабый Принцип максимума гласит, что максимум функции должен быть найден на границе, но может также повторяться внутри. Существуют и другие, даже более слабые принципы максимума, которые просто ограничивают функцию в терминах ее максимума на границе.

Формула Римана-Гурвица

Основная статья: Формула Римана-Гурвица

то Формула Римана – Гурвица, названный в честь Бернхард Риманн и Адольф Гурвиц, описывает взаимосвязь Характеристики Эйлера из двух поверхности когда ты разветвленное покрытие другого. Таким образом, он соединяет разветвление с алгебраическая топология, в этом случае. Это результат прототипа для многих других, и он часто применяется в теории Римановы поверхности (что является его происхождением) и алгебраические кривые.

Заявление

Для ориентируемый поверхность S эйлерова характеристика χ (S) является

${displaystyle 2-2g,}$

куда грамм это род (в количество ручек), поскольку Бетти числа 1, 2грамм, 1, 0, 0, .... В случае (неразветвленный) карта покрытия поверхностей

${displaystyle pi :S' o S,}$

это сюръективно и по степени N, у нас должна получиться формула

${displaystyle chi (S')=Ncdot chi (S).,}$

Это потому, что каждый симплекс S должны быть покрыты точно N в S′ - по крайней мере, если использовать достаточно штраф триангуляция из S, как мы и имеем право, поскольку эйлерова характеристика топологический инвариант. Формула Римана-Гурвица добавляет поправку, учитывающую разветвление (листы соединяются).

Теперь предположим, что S и S ′ находятся Римановы поверхности, и что отображение π комплексный аналитический. Отображение π называется разветвленный в какой-то момент п в S′ Если существуют аналитические координаты вблизи п и π (п) такое, что π принимает вид π (z) = z^п, и п > 1. Эквивалентный способ думать об этом заключается в том, что существует небольшой район U из п такое, что π (п) имеет ровно один прообраз в U, но изображение любой другой точки в U точно п прообразы в U. Номер п называется индекс ветвления в P и также обозначается е_п. При вычислении эйлеровой характеристики S′ Мы замечаем потерю е_п - 1 экз. п выше π (п) (то есть в прообразе π (п)). Теперь выберем триангуляции S и S ′ с вершинами в точках ветвления и разветвления, соответственно, и использовать их для вычисления характеристик Эйлера. потом S ′ будет такое же количество d-мерные грани для d отлична от нуля, но меньше ожидаемых вершин. Следовательно, находим «исправленную» формулу

${displaystyle chi (S')=Ncdot chi (S)-sum _{Pin S'}(e_{P}-1)}$

(почти все, кроме конечного п имеют е_п = 1, так что это вполне безопасно). Эта формула известна как Формула Римана – Гурвица а также как Теорема Гурвица.

Рекомендации

1. Гурвиц-Курант, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie, 1922 (4-е изд., Приложение Х. Рёрля, т. 3, стр. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Спрингер, 1964 г.)
2. Классификация MSC для 30CXX, Теория геометрических функций, полученная из http://www.ams.org/msc/msc2010.html 16 сентября 2014 г.
3. MSC80 в системе классификации MSC

• Гурвиц-Курант, Vorlesunger über allgemeine Funcktionen Theorie, 1922 (4-е изд., Приложение Х. Рёрля, т. 3, стр. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Спрингер, 1964 г.)
• Кранц, Стивен (2006). Геометрическая теория функций: исследования комплексного анализа. Springer. ISBN  0-8176-4339-7.
• Bulboacă, T .; Cho, N.E .; Канас, С.А.Р. (2012). «Новые тенденции в геометрической теории функций 2011» (PDF). Международный журнал математики и математических наук. 2012: 1. Дои:10.1155/2012/976374.
• Альфорс, Ларс (2010). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций. AMS Chelsea Publishing. ISBN  978-0821852705.