Аналитичность голоморфных функций - Analyticity of holomorphic functions - Wikipedia

В комплексный анализ а сложный -значен функция ƒ комплексной переменнойz:

• как говорят голоморфный в какой-то момент а если это дифференцируемый в каждой точке в некоторых открытый диск сосредоточен на а, и
• как говорят аналитический в а если на каком-то открытом диске с центром в а его можно расширить как сходящийся степенной ряд

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

(это означает, что радиус схождения положительный).

Одна из важнейших теорем комплексного анализа состоит в том, что голоморфные функции аналитичны. Среди следствий этой теоремы:

• в теорема тождества что две голоморфные функции, согласованные в каждой точке бесконечного множества S с точка накопления внутри пересечения их областей также согласованы везде в каждом связном открытом подмножестве их областей, которое содержит множество S, и
• тот факт, что, поскольку степенные ряды бесконечно дифференцируемы, также являются голоморфными функции (это в отличие от случая вещественных дифференцируемых функций), и
• тот факт, что радиус схождения - это всегда расстояние от центра а до ближайшего необычность; если нет особенностей (т.е. если ƒ является вся функция ), то радиус сходимости бесконечен. Строго говоря, это не следствие теоремы, а скорее побочный продукт доказательства.
• нет функция удара на комплексной плоскости может быть целым. В частности, на любом связаны открытое подмножество комплексной плоскости, на этом множестве не может быть заданной функции рельефа, голоморфной на этом множестве. Это имеет важные последствия для изучения сложных многообразий, поскольку исключает использование разделы единства. В отличие от этого, разделение единства - это инструмент, который можно использовать на любом реальном многообразии.

Доказательство

Аргумент, впервые приведенный Коши, основан на Интегральная формула Коши и разложение в степенной ряд выражения

${\displaystyle {\frac {1}{w-z}}.}$

Позволять D быть открытым диском с центром в а и предположим ƒ дифференцируема всюду в пределах открытой окрестности, содержащей замыкание D. Позволять C положительно ориентированная (т. е. против часовой стрелки) окружность, которая является границей D и разреши z быть точкой в D. Начиная с интегральной формулы Коши, имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}}$

Замена интеграла и бесконечной суммы оправдана тем, что ${\displaystyle f(w)/(w-a)}$ ограничен C некоторым положительным числом M, а для всех ш в C

${\displaystyle \left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1}$

для некоторых положительных р также. Поэтому у нас есть

${\displaystyle \left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n},}$

на C, и как М-тест Вейерштрасса показывает, что ряд сходится равномерно по C, сумма и интеграл можно поменять местами.

В качестве фактора (z − а)^п не зависит от переменной интегрированияш, это может быть вынесено за

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w,}$

который имеет желаемый вид степенного ряда по z:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

с коэффициентами

${\displaystyle c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.}$

Замечания

• Поскольку степенной ряд можно дифференцировать по членам, применяя приведенный выше аргумент в обратном направлении и выражение степенного ряда для

${\displaystyle {\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}}$

дает

${\displaystyle f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.}$

Это интегральная формула Коши для производных. Следовательно, полученный выше степенной ряд является Серия Тейлор изƒ.

• Аргумент работает, если z любая точка ближе к центру а чем любая особенностьƒ. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше расстояния от а до ближайшей особенности (и не может быть больше, поскольку степенные ряды не имеют особенностей внутри своих кругов сходимости).
• Частный случай теорема тождества следует из предыдущего замечания. Если две голоморфные функции согласуются в (возможно, весьма малой) открытой окрестности U из а, то они совпадают на открытом диске B_d(а), куда d это расстояние от а до ближайшей особенности.

внешняя ссылка

• «Существование силового ряда». PlanetMath.