Конформный радиус - Conformal radius

В математике конформный радиус способ измерить размер односвязный планарный домен D смотреть с точки z в этом. В отличие от понятий, использующих Евклидово расстояние (скажем, радиус наибольшего вписанного диска с центром z), это понятие хорошо подходит для использования в комплексный анализ, в частности в конформные карты и конформная геометрия.

Близким понятием является трансфинитный диаметр или же (логарифмическая) емкость из компактный односвязный набор D, который можно рассматривать как обратный конформному радиусу дополнять E = Dc вид из бесконечность.

Определение

Учитывая односвязную область DC, и точка zD, посредством Теорема римана отображения существует единственное конформное отображение ж : DD на единичный диск (обычно называемый унифицированная карта) с ж(z) = 0 ∈ D и ж′(z) ∈ р+. Конформный радиус D из z тогда определяется как

Самый простой пример - конформный радиус диска радиуса р вид из его центра также р, показанный униформизирующим отображением ИксИкс/р. См. Ниже дополнительные примеры.

Одна из причин полезности этого понятия заключается в том, что оно хорошо себя ведет при конформных отображениях: если φ: DD′ - конформная биекция и z в D, тогда .

Конформный радиус также можно выразить как куда является гармоническим продолжением из к .

Частный случай: верхняя полуплоскость.

Позволять KЧАС быть подмножеством верхняя полуплоскость такой, что D := ЧАС\K связано и односвязно, и пусть zD быть точкой. (Это обычный сценарий, скажем, в Эволюция Шрамма-Лёвнера ). По теореме об отображении Римана существует конформная биекция грамм : DЧАС. Тогда для любой такой карты грамм, простое вычисление дает, что

Например, когда K = ∅ и z = я, тогда грамм может быть тождественной картой, и мы получаем rad (я, ЧАС) = 2. Убедившись, что это соответствует исходному определению: униформизирующее отображение ж : ЧАСD является

и тогда производная может быть легко вычислена.

Отношение к внутреннему радиусу

То, что это хорошая мера радиуса, показывает следующее непосредственное следствие Лемма Шварца и Теорема Кебе 1/4: за zDC,

где dist (z, ∂D) обозначает евклидово расстояние между z и граница из D, или другими словами, радиус наибольшего вписанного диска с центром z.

Оба неравенства являются наилучшими из возможных:

Очевидно, что верхняя оценка достигается, если взять D = D и z = 0.
Нижняя граница достигается следующей «щелевой областью»: D = C\р+ и z = −рр. Отображение квадратного корня φ принимает D на верхнюю полуплоскость ЧАС, с и производная . Приведенная выше формула для верхней полуплоскости дает , и тогда формула преобразования при конформных отображениях дает rad (-р, D) = 4р, при этом, конечно, dist (-р, ∂D) = р.

Версия из бесконечности: трансфинитный диаметр и логарифмическая емкость

Когда DC односвязный компакт, то его дополнение E = Dc односвязная область в Сфера Римана содержащий ∞[нужна цитата ], и можно определить

куда ж : C\DE - единственное биективное конформное отображение с f (∞) = ∞ и положительным вещественным пределом, т. е. конформное отображение вида

Коэффициент c1 = рад (∞, D) равно трансфинитный диаметр и (логарифмическая) емкость из D; см. главу 11 Поммеренке (1975) и Кузьмина (2002). См. Также статью о вместимость комплекта.

Коэффициент c0 называется конформный центр из D. Можно показать, что он лежит в выпуклый корпус из D; более того,

где радиус 2c1 резка для отрезка прямой длиной 4c1. См. Страницы 12–13 и главу 11 Поммеренке (1975).

Константы Фекете, Чебышева и модифицированные константы Чебышева

Мы определяем три другие величины, которые равны трансфинитному диаметру, даже если они определены с совершенно другой точки зрения. Позволять

обозначим произведение попарных расстояний точек и определим следующую величину для компакта DC:

Другими словами, является супремумом среднего геометрического парных расстояний п указывает в D. С D компактно, этот супремум фактически достигается набором точек. Любая такая пнабор точек называется Фекете набор.

Лимит существует и называется Постоянная Фекете.

Теперь позвольте обозначим множество всех монических многочленов степени п в C[Икс], позволять обозначим множество многочленов от со всеми нулями в D и давайте определим

и

Тогда пределы

и

существуют и их называют Постоянная Чебышева и модифицированная постоянная Чебышева, соответственно.Майкл Фекете и Габор Сегу доказано, что эти константы равны.

Приложения

Конформный радиус - очень полезный инструмент, например, при работе с Эволюция Шрамма-Лёвнера. Красивый экземпляр можно найти в Лоулер, Шрамм и Вернер (2002).

Рекомендации

  • Альфорс, Ларс В. (1973). Конформные инварианты: разделы геометрической теории функций. Серия по высшей математике. Макгроу-Хилл. МИСТЕР  0357743. Zbl  0272.30012.
  • Хорват, Янош, изд. (2005). Панорама венгерской математики в двадцатом веке, I. Математические исследования Общества Бойяи. Springer. ISBN  3-540-28945-3.
  • Кузьмина, Г. В. (2002), Конформный радиус домена, от Энциклопедия математики онлайн.
  • Лоулер, Грегори Ф.; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2002), «Экспонента одной руки для критической двумерной перколяции», Электронный журнал вероятностей, 7 (2): 13 с., arXiv:математика / 0108211, Дои:10.1214 / ejp.v7-101, ISSN  1083-6489, МИСТЕР  1887622, Zbl  1015.60091
  • Поммеренке, Кристиан (1975). Унивалентные функции. Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. Группа XXV. С главой Герда Йенсена о квадратичных дифференциалах. Геттинген: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl  0298.30014.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка