Емкость комплекта - Capacity of a set

В математика, то вместимость комплекта в Евклидово пространство является мерой "размера" этого набора. В отличие, скажем, от Мера Лебега, который измеряет объем или физическая степень, емкость - это математический аналог способности множества удерживать электрический заряд. Точнее, это емкость набора: общий заряд, который набор может удерживать при сохранении заданного потенциальная энергия. Потенциальная энергия вычисляется относительно идеализированной земли на бесконечности для гармонический или же Ньютоновская емкость, а относительно поверхности для емкость конденсатора.

Историческая справка

Понятия емкости набора и "емкостного" набора были введены Гюстав Шоке в 1950 году: подробный отчет см. в справке (Шоке 1986 ).

Определения

Емкость конденсатора

Пусть Σ - закрыто, гладкий, (п − 1)-размерный гиперповерхность в п-мерное евклидово пространство ℝ^п, п ≥ 3; K будет обозначать п-размерный компактный (т.е. закрыто и ограниченный ) множество, из которых Σ является граница. Позволять S быть другим (п - 1) -мерная гиперповерхность, охватывающая Σ: по отношению к ее истокам в электромагнетизм, пара (Σ,S) известен как конденсатор. В емкость конденсатора Σ относительно S, обозначенный C(Σ,S) или cap (Σ,S), задается поверхностным интегралом

{ Displaystyle C ( Sigma, S) = - { frac {1} {(n-2) sigma _ {n}}} int _ {S '} { frac { partial u} { partial nu}} , mathrm {d} sigma ',}

куда:

ты уникальный гармоническая функция определено по региону D между Σ и S с граничные условия ты(Икс) = 1 на Σ и ты(Икс) = 0 на S;
S′ - любая промежуточная поверхность между Σ и S;
ν это внешний единица нормальная поле к S' и

{ displaystyle { frac { partial u} { partial nu}} (x) = nabla u (x) cdot nu (x)}

это нормальная производная из ты через S′; и

σ_п = 2π^п⁄2 ⁄ Γ (п ⁄ 2) - площадь поверхности единичная сфера в ℝ^п.

C(Σ,S) эквивалентно определяется интегралом по объему

{ Displaystyle C ( Sigma, S) = { frac {1} {(п-2) sigma _ {n}}} int _ {D} | nabla и | ^ {2} mathrm {d } Икс.}

Емкость конденсатора также имеет вариационная характеристика: C(Σ,S) это инфимум из Энергия Дирихле функциональный

{ displaystyle I [v] = { frac {1} {(n-2) sigma _ {n}}} int _ {D} | nabla v | ^ {2} mathrm {d} x}

общий непрерывно дифференцируемые функции v на D с v(Икс) = 1 на Σ и v(Икс) = 0 на S.

Гармоническая / ньютоновская емкость

Эвристически, гармоническая емкость K, область, ограниченную Σ, можно найти, взяв емкость конденсатора Σ относительно бесконечности. Точнее, пусть ты - гармоническая функция в дополнении K удовлетворение ты = 1 на Σ и ты(Икс) → 0 при Икс → ∞. Таким образом ты это Ньютоновский потенциал простого слоя Σ. Тогда гармоническая емкость (также известный как Ньютоновская емкость) из K, обозначенный C(K) или колпачок (K), тогда определяется как

{ Displaystyle C (K) = int _ { mathbb {R} ^ {n} setminus K} | nabla u | ^ {2} mathrm {d} x.}

Если S спрямляемая гиперповерхность, полностью закрывающая K, то гармоническая емкость эквивалентно переписывается в виде интеграла по S внешней нормальной производной от ты:

{ Displaystyle C (K) = int _ {S} { frac { partial u} { partial nu}} , mathrm {d} sigma.}

Гармоническую емкость также можно понимать как предел емкости конденсатора. А именно пусть S_р обозначить сфера радиуса р о происхождении в ℝ^п. С K ограничена, при достаточно больших р, S_р приложу K и (Σ,S_р) образуют конденсаторную пару. Тогда гармоническая емкость равна предел в качестве р стремится к бесконечности:

{ Displaystyle C (K) = lim _ {r to infty} C ( Sigma, S_ {r}).}

Гармоническая емкость - это математически абстрактная версия электростатическая емкость дирижера K и всегда неотрицательно и конечно: 0 ≤C(K) < +∞.

Обобщения

Характеристика емкости набора как минимум энергетический функционал достижение конкретных граничных значений, указанных выше, может быть распространено на другие функционалы энергии в вариационное исчисление.

Эллиптические операторы с дивергентной формой

Решения равномерно эллиптическое уравнение в частных производных с формой дивергенции

{ Displaystyle набла cdot (А набла и) = 0}

являются минимизаторами ассоциированного функционала энергии

{ displaystyle I [u] = int _ {D} ( nabla u) ^ {T} A ( nabla u) , mathrm {d} x}

при соответствующих граничных условиях.

Емкость комплекта E по отношению к области D содержащий E определяется как инфимум энергии во всем непрерывно дифференцируемые функции v на D с v(Икс) = 1 на E; и v(Икс) = 0 на границе D.

Минимальная энергия достигается за счет функции, известной как емкостной потенциал из E относительно D, и он решает проблема препятствия на D с функцией препятствия, обеспечиваемой индикаторная функция из E. Емкостной потенциал поочередно характеризуется как единственное решение уравнения с соответствующими граничными условиями.