Теорема Кёбе о четверти - Koebe quarter theorem - Wikipedia

В комплексный анализ, филиал математика, то Теорема Кебе 1/4 заявляет следующее:

Теорема Кёбе о четверти. Образ инъективной аналитической функции ж : D → C от единичный диск D на подмножество из комплексная плоскость содержит диск, центр которого ж(0) и радиусом |f ′(0)|/4.

Теорема названа в честь Пол Кобе, который предположил результат в 1907 году. Теорема была доказана Людвиг Бибербах в 1916 году. Пример функции Кебе показывает, что постоянная 1/4 в теореме не может быть улучшена (увеличена).

Связанный результат - Лемма Шварца, и понятие, связанное с обоими конформный радиус.

Теорема площади Гренвалла

Предположим, что

{ displaystyle g (z) = z + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + cdots}

однозначно в |z| > 1. Тогда

{ Displaystyle сумма _ {п geq 1} п | b_ {n} | ^ {2} leq 1.}

Фактически, если р > 1, дополнение образа диска | z | > р ограниченная область Икс(р). Его площадь определяется как

{ Displaystyle int _ {X (r)} dx , dy = {1 over 2i} int _ { partial X (r)} { overline {z}} , dz = {1 over 2i } int _ {| z | = r} { overline {g}} , dg = pi r ^ {2} - pi sum n | b_ {n} | ^ {2} r ^ {- 2n }.}

Так как площадь положительна, результат следует, положив р уменьшается до 1. Приведенное выше доказательство показывает, что равенство имеет место тогда и только тогда, когда дополнение образа грамм имеет нулевую площадь, т.е. Мера Лебега нуль.

Этот результат был доказан в 1914 году шведским математиком Томас Хакон Грёнвалл.

Функция Кебе

В Функция Кебе определяется

{ displaystyle f (z) = { frac {z} {(1-z) ^ {2}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} nz ^ {n}}

Применение теоремы к этой функции показывает, что константа 1/4 в теореме не может быть улучшена, поскольку область изображения ж(D) не содержит точки z = −1/4 и поэтому не может содержать диск с центром в 0 и радиусом больше 1/4.

В повернутая функция Кебе является

{ displaystyle f _ { alpha} (z) = { frac {z} {(1- alpha z) ^ {2}}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} n alpha ^ {n-1} z ^ {n}}

с α комплексное число абсолютная величина 1. Функция Кебе и ее вращения равны Schlicht: то есть, однозначный (аналитический и один к одному ) и удовлетворение ж(0) = 0 и f ′(0) = 1.

Неравенство коэффициентов Бибербаха для однолистных функций

Позволять

{ displaystyle g (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + cdots}

быть однозначным в |z| <1. Тогда

{ displaystyle | a_ {2} | leq 2.}

Это следует из применения теоремы Гронуолла о площади к нечетной однолистной функции

{ displaystyle g (z ^ {- 2}) ^ {- 1/2} = z- {1 over 2} a_ {2} z ^ {- 1} + cdots.}

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда грамм - повернутая функция Кёбе.

Этот результат был доказан Людвиг Бибербах в 1916 г. и послужил основой для его знаменитая догадка что |а_п| ≤ п, доказано в 1985 г. Луи де Бранж.

Доказательство теоремы о четверти

Применяя аффинное отображение, можно считать, что

{ Displaystyle е (0) = 0, , , , е ^ { прайм} (0) = 1,}

так что

{ displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + cdots.}

Если ш не в ж(D), тогда

{ Displaystyle час (z) = {wf (z) над w-f (z)} = z + (a_ {2} + w ^ {- 1}) z ^ {2} + cdots}

однозначно в |z| < 1.

Применяя неравенство коэффициентов к ж и час дает

{ displaystyle | w | ^ {- 1} leq | a_ {2} | + | a_ {2} + w ^ {- 1} | leq 4,}

так что

{ displaystyle | w | geq {1 более 4}.}

Теорема Кебе об искажении

В Теорема Кебе об искажении дает ряд оценок для однолистной функции и ее производной. Это прямое следствие неравенства Бибербаха для второго коэффициента и четвертичной теоремы Кёбе.^[1]

Позволять ж(z) - однолистная функция на |z| <1 нормализовано, так что ж(0) = 0 и f '(0) = 1 и пусть р = |z|, потом