Эквиполлентность (геометрия) - Equipollence (geometry)

В Евклидова геометрия, равноправие это бинарное отношение между направленные отрезки линии. Отрезок линии AB с точки А В точку B имеет направление, противоположное линейному сегменту BA. Два направленных отрезка линии равноценный когда они имеют одинаковую длину и направление.

История

Обзор

Идея равноправных отрезков была выдвинута Джусто Беллавитис в 1835 г. Впоследствии термин вектор был принят для класса равномерных отрезков. Беллавитис использует идею связь сравнение различных, но похожих объектов стало обычным математическим приемом, особенно при использовании отношения эквивалентности. Bellavitis использовал специальное обозначение равноправия сегментов. AB и CD:

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

Следующие отрывки, переведенные Майклом Дж. Кроу, показывают, как Беллавитис ожидал вектор концепции:

Эквиполентности остаются в силе, когда одни заменяют в них линии другими линиями, которые соответственно равны им, независимо от того, как они могут быть расположены в пространстве. Из этого можно понять, как любое число и любые линии могут быть подведены, и что в каком бы порядке ни были взяты эти строки, будет получена такая же эквивалентная сумма ...

В равноправных условиях, как и в уравнениях, линия может переноситься с одной стороны на другую при условии изменения знака ...

Таким образом, противоположно направленные сегменты являются противоположностями друг друга: ${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

Равноправие ${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$ куда п означает положительное число, означает, что AB параллельно и имеет то же направление, что и CD, и что их длины имеют соотношение, выражаемое AB = n.CD.^[1]

Сегмент из А к B это связанный вектор, а равноправный ему класс отрезков - бесплатный вектор, выражаясь языком Евклидовы векторы.

Примеры

Среди исторических применений равноправия Беллавитисом и другими сопряженные диаметры эллипсов, а также гипербол обсуждаются:

а) Сопряженный диаметр эллипсов

Беллавитис (1854 г.)^[2] определила равноправие ОМ эллипс и соответствующая касательная MT как

(1а) ${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathrm {OM} \bumpeq x\mathrm {OA} +y\mathrm {OB} \\&\mathrm {MT} \bumpeq -y\mathrm {OA} +x\mathrm {OB} \\&\left[x^{2}+y^{2}=1;\ x=\cos t,\ y=\sin t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \bumpeq \cos t\cdot \mathrm {OA} +\sin t\cdot \mathrm {OB} \end{matrix}}}$

где OA и OB - сопряженные полудиаметры эллипса, оба из которых он связал с двумя другими сопряженными полудиаметрами OC и OD следующим соотношением и его обратным:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathrm {OC} &\bumpeq c\mathrm {OA} +d\mathrm {OB} &\qquad &&\mathrm {OA} &\bumpeq c\mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq -d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{aligned}}\\\left[c^{2}+d^{2}=1\right]\end{matrix}}}$

производящий инвариант

${\displaystyle (\mathrm {OC} )^{2}+(\mathrm {OD} )^{2}\bumpeq (\mathrm {OA} )^{2}+(\mathrm {OB} )^{2}}$.

Подставляя обратное в (1а), он показал, что ОМ сохраняет свою форму

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {OM} \bumpeq (cx+dy)\mathrm {OC} +(cy-dx)\mathrm {OD} \\\left[(cx+dy)^{2}+(cy-dx)^{2}=1\right]\end{matrix}}}$

б) Сопряженный диаметр гипербол

Дальнейшая информация: История преобразований Лоренца § Преобразование Лоренца через гиперболические функции

Во французском переводе статьи Беллавитиса 1854 г. Шарль-Анж Лезан (1874) добавил главу, в которой он адаптировал приведенный выше анализ к гипербола. Эквиполентность OM и ее касательная MT гиперболы определяется равенством^[3]

(1b) ${\displaystyle {\begin{matrix}&\mathrm {OM} \bumpeq x\mathrm {OA} +y\mathrm {OB} \\&\mathrm {MT} \bumpeq y\mathrm {OA} +x\mathrm {OB} \\&\left[x^{2}-y^{2}=1;\ x=\cosh t,\ y=\sinh t\right]\\\Rightarrow &\mathrm {OM} \bumpeq \cosh t\cdot \mathrm {OA} +\sinh t\cdot \mathrm {OB} \end{matrix}}}$

Здесь OA и OB - это сопряженные полудиаметры гиперболы с воображаемым OB, оба из которых он связал с двумя другими сопряженными полудиаметрами OC и OD с помощью следующего преобразования и его обратного:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathrm {OC} &\bumpeq c\mathrm {OA} +d\mathrm {OB} &\qquad &&\mathrm {OA} &\bumpeq c\mathrm {OC} -d\mathrm {OD} \\\mathrm {OD} &\bumpeq d\mathrm {OA} +c\mathrm {OB} &&&\mathrm {OB} &\bumpeq -d\mathrm {OC} +c\mathrm {OD} \end{aligned}}\\\left[c^{2}-d^{2}=1\right]\end{matrix}}}$

производя инвариантное отношение

${\displaystyle (\mathrm {OC} )^{2}-(\mathrm {OD} )^{2}\bumpeq (\mathrm {OA} )^{2}-(\mathrm {OB} )^{2}}$.

Подставляя в (1б), он показал, что ОМ сохраняет свою форму

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {OM} \bumpeq (cx-dy)\mathrm {OC} +(cy-dx)\mathrm {OD} \\\left[(cx-dy)^{2}-(cy-dx)^{2}=1\right]\end{matrix}}}$

С современной точки зрения преобразование Лейсана между двумя парами сопряженных полудиаметров можно интерпретировать как Лоренц усиливает с точки зрения гиперболических вращений, а также их визуальная демонстрация с точки зрения Диаграммы Минковского.

Расширение

На сфере также используется геометрическое равноправие:

Ценить Гамильтона Для этого сначала напомним гораздо более простой случай абелевой группы сдвигов в евклидовом трехмерном пространстве. Каждый перенос можно представить в виде вектора в пространстве, причем значение имеют только направление и величина, а местоположение значения не имеет. Композиция двух переводов задается правилом сложения векторов "голова к хвосту" параллелограмма; и принятие обратного равносильно изменению направления. В теории поворотов Гамильтона мы имеем обобщение такой картины с абелевой группы сдвигов на неабелеву. SU (2). Вместо векторов в пространстве мы имеем дело с направленными дугами большого круга длины <π на единичной сфере S² в евклидовом трехмерном пространстве. Две такие дуги считаются эквивалентными, если, скользя одну по большой окружности, можно сделать так, чтобы она совпала с другой.^[4]

На большой круг сферы, два направления дуги окружности равноправны, если они совпадают по направлению и длине дуги. Класс эквивалентности таких дуг ассоциируется с кватернион Versor

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$ куда а длина дуги и р определяет плоскость большого круга по перпендикулярности.

Рекомендации

1. Майкл Дж. Кроу (1967) История векторного анализа, «Джусто Беллавитис и его исчисление равноправия», стр. 52–4, University of Notre Dame Press
2. Беллавитис (1854 г.), §§ 145 и далее
3. Laisant (1874), стр. 133 и далее.
4. Н. Мукунда, Раджиа Саймон и Георгий Сударшан (1989) «Теория винтов: новое геометрическое представление для группы SU (1,1), Журнал математической физики 30(5): 1000–1006 МИСТЕР0992568

дальнейшее чтение

• Джусто Беллавитис (1835) "Новые методы применения геометрической аналитики (Calcolo delle Equipollenze)", Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto, Падуя 5: 244–59.
• Джусто Беллавитис (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze, ссылка из Google Книги.

• Шарль-Анж Лезан (1874 г.): французский перевод с дополнениями Bellavitis (1854 г.) Exposition de la méthode des equipollences, ссылка из Google Книги.

• Джусто Беллавитис (1858) Calcolo dei Quaternioni di W.R. Hamilton e sua Relazione col Metodo delle Equipollenze, ссылка с HathiTrust.
• Шарль-Анж Лезан (1887) Теория и приложения равноправия, Готье-Виллар, ссылка с университет Мичигана Исторический математический сборник.
• Лена Львовна Северанс (1930) Теория равноправия; Метод аналитической геометрии сиг. Беллавит, ссылка с HathiTrust.

внешняя ссылка

• Аксиоматическое определение равноправия