PG (3,2) - PG(3,2)

PG (3,2) изображен в виде тетраэдра (см. Текст)

В конечная геометрия, PG (3,2) самый маленький трехмерный проективное пространство. Его можно рассматривать как расширение Самолет Фано Он имеет 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей.^[1] Он также обладает следующими свойствами:^[2]

• Каждая точка содержится в 7 линиях и 7 плоскостях.
• Каждая линия содержится в 3-х плоскостях и содержит 3 точки.
• Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий.
• Каждый самолет изоморфный на самолет Фано
• Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой
• Прямая и не содержащая ее плоскость пересекаются ровно в одной точке.

Строительство из K₆

Взять полный график K₆. Имеет 15 ребер, 15 идеальное соответствие и 20 треугольников. Создайте точку для каждого из 15 ребер и линию для каждого из 20 треугольников и 15 соответствий. В структура заболеваемости между каждым треугольником или совпадением (линия) с его тремя составляющими ребрами (точками) индуцирует PG (3,2). (Работа Сильвестра о дуэтах и ​​синтемах, 1859 г.)

Конструкция из самолетов Фано

Возьмите самолет Фано и примените все 5040 перестановок его 7 точек. Выбросьте повторяющиеся самолеты, чтобы получить набор из 30 различных самолетов Фано. Выберите любой из 30 и выберите 14 других, которые имеют ровно одну общую линию с первой, а не 0 или 3. структура заболеваемости между 1 + 14 = 15 плоскостями Фано и 35 тройками, которые они взаимно покрывают, индуцирует PG (3,2).^[3]

Тетраэдрическое изображение

PG (3,2) можно представить в виде тетраэдра. 15 точек соответствуют 4 вершинам + 6 средним точкам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тела. 35 линий соответствуют 6 ребрам + 12 срединным граням + 4 вписанным в грань окружностям + 4 высотам от грани до противоположной вершины + 3 линиям, соединяющим середины противоположных ребер + 6 эллипсов, соединяющих среднюю точку каждого ребра с двумя несоседними центры лица. 15 плоскостей состоят из 4 граней + 6 "срединных" плоскостей, соединяющих каждое ребро с серединой противоположного ребра + 4 "конуса", соединяющих каждую вершину с вписанной окружностью противоположной грани + одна "сфера" с 6 центрами ребер. и центр тела.^[4]

Квадратное представление

Квадратная модель Fano 3-space

А 3- (16,4,1) блочная конструкция имеет 140 блоков размера 4 по 16 точек, так что каждая тройка точек покрывается ровно один раз. Выберите любую точку, возьмите только 35 блоков, содержащих эту точку, и удалите эту точку. 35 блоков размера 3, которые остались, составляют PG (3,2) по 15 оставшимся точкам. Если эти 16 точек расположены в сетке 4x4 и им присвоены 4-битные двоичные координаты, как в Карта Карно например, получается квадратное представление. Геометрически 35 линий представлены как биекция с 35 способами разделить сетку 4x4 на 4 области по 4 ячейки в каждой, если сетка представляет собой аффинное пространство, а области представляют собой 4 параллельные плоскости.

Проблема школьницы Киркмана

PG (3,2) возникает как фон в некоторых решениях Проблема школьницы Киркмана. Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть вложены как структуры в 3-пространство Фано. В частности, распространять PG (3,2) представляет собой разбиение точек на непересекающиеся линии и соответствует расположению девочек (точек) в непересекающиеся строки (линии разворота) за один день задачи Киркмана о школьнице. Есть 56 различных спредов по 5 линий в каждом. А упаковка PG (3,2) представляет собой разбиение 35 строк на 7 непересекающихся разворотов по 5 строк в каждом и соответствует решению для всех семи дней. Имеется 240 упаковок PG (3,2), которые распадаются на два класса сопряженности по 120 под действием PGL (4,2) (группа коллинеаций пространства); корреляция меняет местами эти два класса.^[5]

Салфетка изображение

Салфетка. Это также представление сильно регулярный граф srg (15,6,1,3) нарисован с перекрывающимися краями.

Диаграмма Дойли часто используется для представления обобщенный четырехугольник GQ (2,2) также используется для обозначения PG (3,2).^[6]

Автоморфизмы

В группа автоморфизмов PG (3,2) переводит прямые в прямые. Число автоморфизмов определяется путем нахождения числа способов выбора 4 точек, которые не являются компланарными; получается 15 to14⋅12⋅8 = 20160 = 8! / 2. Оказывается, группа автоморфизмов PG (3,2) изоморфна группе переменная группа на 8 элементах A₈.

Координаты

Известно, что PG (п, 2) можно координировать с (GF (2))^{п + 1}, т.е. битовая строка длины п + 1. Таким образом, PG (3,2) может быть скоординирован с помощью 4-битных строк. Обычное отображение между этими координатами и представлением тетраэдра выше состоит в том, что вершины тетреэдра имеют Вес Хэмминга 1, например 0001, 0010 и т. Д., А для других точек - их XOR. Таким образом, средние точки краев получают вес Хэмминга 2, центры граней получают вес Хэмминга 3, а центр тела получает вес Хэмминга 4.^{[нужна цитата ]}

Кроме того, точки соединения линий (а₁, а₂, а₃, а₄) и (б₁, б₂, б₃, б₄) можно естественно назначить Координаты Плюккера (п₁₂, п₁₃, п₁₄, п₂₃, п₂₄, п₃₄) куда п_ij = а_яб_j − а_jб_я, а координаты линии удовлетворяют п₁₂ п₃₄ + п₁₃ п₂₄ + п₁₄ п₂₃ = 0. Таким образом, каждая линия в проективном 3-пространстве имеет шесть координат и может быть представлена ​​как точка в проективном 5-пространстве; точки лежат на поверхности п₁₂ п₃₄ + п₁₃ п₂₄ + п₁₄ п₂₃ = 0.

Примечания

1. Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные понятия геометрии, Дувр, стр. 29, ISBN  0-486-63415-9
2. Polster 1998, п. 69
3. Polster 1998, п. 77
4. Polster 1998, стр. 82-83
5. Хиршфельд 1985, п. 73
6. Polster 1998, п. 69

Рекомендации

• Фано, Г. (1892 г.), "Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche, 30: 106–132
• Хиршфельд, Дж. У. П. (1985), Конечные проективные пространства трех измерений, Oxford University Press, ISBN  0-19-853536-8
• Polster, Burkard (1998), Геометрическая книга с картинками, Спрингер, ISBN  978-0-387-98437-7