Гипероперация - Hyperoperation

Эта статья об арифметической концепции. Относительно концепции гипероперации теории групп см. Гиперструктура.

В математика, то последовательность гиперопераций^{[nb 1]} бесконечный последовательность арифметических операций (называемых гипероперации в контексте)^[1][11][13] что начинается с унарная операция (в функция преемника с п = 0). Последовательность продолжается с бинарные операции из добавление (п = 1), умножение (п = 2), и возведение в степень (п = 3).

После этого последовательность переходит к дальнейшим двоичным операциям, выходящим за пределы возведения в степень, с использованием правоассоциативность. Для операций за пределами возведения в степень п-й член этой последовательности назван Рубен Гудштейн после Греческий префикс из п с суффиксом -ation (Такие как тетрация (п = 4), пентация (п = 5), шестигранная (п = 6) и т. Д.)^[5] и может быть записано как использование п - 2 стрелки в Обозначение Кнута со стрелкой вверх.Каждая гипероперация может быть понятна. рекурсивно по сравнению с предыдущим:

${\displaystyle a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a},\quad n\geq 2}$

Он также может быть определен в соответствии с частью определения правила рекурсии, как в версии Кнута со стрелкой вверх Функция Аккермана:

${\displaystyle a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1}$

Это можно использовать для отображения чисел, намного больших, чем те, которые научная нотация может, например, Число Скьюза и гуголплекс (например. ${\displaystyle 50[50]50}$ намного больше, чем число Скьюза и googolplexplex), но есть некоторые числа, которые даже они не могут легко показать, например Число Грэма и ДЕРЕВО (3).

Это правило рекурсии является общим для многих вариантов гиперопераций.

Определение

В последовательность гиперопераций ${\displaystyle H_{n}(a,b)\colon (\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$ это последовательность из бинарные операции ${\displaystyle H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$, определенный рекурсивно следующее:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{if }}n=0\\a&{\text{if }}n=1{\text{ and }}b=0\\0&{\text{if }}n=2{\text{ and }}b=0\\1&{\text{if }}n\geq 3{\text{ and }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

(Обратите внимание, что для п = 0, бинарная операция существенно сводится к унарная операция (функция преемника ), игнорируя первый аргумент.)

За п = 0, 1, 2, 3, это определение воспроизводит основные арифметические операции преемник (что является унарной операцией), добавление, умножение, и возведение в степень соответственно, как

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\end{aligned}}}$

Операции H для п ≥ 3 можно записать в Обозначение Кнута со стрелкой вверх в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{3}(a,b)&=a\uparrow {b}=a^{b},\end{aligned}}}$

Так какой будет следующая операция после возведения в степень? Мы определили умножение так, чтобы ${\displaystyle H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,}$ и определил возведение в степень так, чтобы ${\displaystyle H_{3}(a,3)=a[3]3=a\uparrow 3=a^{3}=a\times a\times a,}$ поэтому кажется логичным определить следующую операцию, тетрацию, чтобы ${\displaystyle H_{4}(a,3)=a[4]3=a\uparrow \uparrow 3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},}$ с башней в три буквы "а". Аналогично, пентация (а, 3) будет тетрацией (а, тетрацией (а, а)) с тремя «а» в ней.

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b},\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b},\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 3,\\\ldots &\\\end{aligned}}}$

Обозначения Кнута можно расширить до отрицательных индексов ≥ −2 таким образом, чтобы согласовать со всей последовательностью гиперопераций, за исключением запаздывания в индексации:

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}$

Таким образом, гипероперации можно рассматривать как ответ на вопрос «что дальше» в последовательность: преемник, добавление, умножение, возведение в степень, и так далее. Отмечая, что

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}}$

проиллюстрирована взаимосвязь между основными арифметическими операциями, что позволяет естественным образом определять более высокие операции, как указано выше. Параметры иерархии гиперопераций иногда называют их аналогичным членом возведения в степень;^[14] так а это основание, б это показатель степени (или же гиперэкспонент),^[12] и п это классифицировать (или же оценка),^[6] и более того, ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$ читается как " бth п-осуществление а", например ${\displaystyle H_{4}(7,9)}$ читается как «9-я четверть из 7», и ${\displaystyle H_{123}(456,789)}$ читается как «789-я 123-я 456-я».

В общем, гипероперации - это способы сложения чисел, рост которых увеличивается на основе повторения предыдущей гипероперации. Понятия преемника, сложения, умножения и возведения в степень являются гипероперациями; последующая операция (производство Икс +1 от Икс) является наиболее примитивным, оператор сложения определяет количество раз, которое нужно добавить к себе, чтобы получить окончательное значение, умножение указывает, сколько раз число должно быть добавлено к самому себе, а возведение в степень относится к количеству раз число умножается само на себя.

Примеры

Ниже приведен список первых семи (с 0 по 6) гиперопераций (0⁰ определяется как 1).

п	Операция, ЧАСп(а, б)	Определение	Имена	Домен
0	${\displaystyle 1+b}$ или же ${\displaystyle a[0]b}$	${\displaystyle 1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}}$	гипер0, приращение, преемник, зерация	Произвольный
1	${\displaystyle a+b}$ или же ${\displaystyle a[1]b}$	${\displaystyle a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of 1}}}}$	гипер1, добавление	Произвольный
2	${\displaystyle a\cdot b}$ или же ${\displaystyle a[2]b}$	${\displaystyle \underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	гипер2, умножение	Произвольный
3	${\displaystyle a^{b}}$ или же ${\displaystyle a[3]b}$	${\displaystyle \underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdots \;\cdot a\cdot a\cdot a} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	гипер3, возведение в степень	б реальный, с некоторыми многозначными расширениями сложные числа
4	${\displaystyle ^{b}a}$ или же ${\displaystyle a[4]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	гипер4, тетрация	а ≥ 0 или целое число, б целое число ≥ −1[nb 2] (с некоторыми предлагаемыми расширениями)
5	${\displaystyle a[5]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	гипер5, пентация	а, б целые числа ≥ −1[nb 2]
6	${\displaystyle a[6]b}$	${\displaystyle \underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}}$	hyper6, шестиугольник	а, б целые числа ≥ −1[nb 2]

Особые случаи

ЧАС_п(0, б) =

б +1, когда п = 0

б, когда п = 1

0, когда п = 2

1, когда п = 3 и б = 0 ^{[№ 3][№ 4]}

0, когда п = 3 и б > 0 ^{[№ 3][№ 4]}

1, когда п > 3 и б четное (включая 0)

0, когда п > 3 и б странно

ЧАС_п(1, б) =

1, когда п ≥ 3

ЧАС_п(а, 0) =

0, когда п = 2

1, когда п = 0, или п ≥ 3

а, когда п = 1

ЧАС_п(а, 1) =

а, когда п ≥ 2

ЧАС_п(а, а) =

ЧАС_{п + 1}(а, 2), когда п ≥ 1

ЧАС_п(а, −1) =^{[nb 2]}

0, когда п = 0, или п ≥ 4

а - 1, когда п = 1

−а, когда п = 2

1/а , когда п = 3

ЧАС_п(2, 2) =

3, когда п = 0

4, когда п ≥ 1, что легко проверить рекурсивно.

История

Одним из первых обсуждений гиперопераций было обсуждение Альберта Беннета.^[6] в 1914 году, который разработал некоторые теории коммутативные гипероперации (видеть ниже ). Примерно 12 лет спустя Вильгельм Аккерманн определил функцию ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$^[15] что несколько напоминает последовательность гиперопераций.

В своей статье 1947 г.^[5] Р. Л. Гудштейн введена конкретная последовательность операций, которые теперь называются гипероперации, а также предложил греческие имена тетрация, пентация и т. д. для расширенных операций за пределами возведения в степень (поскольку они соответствуют индексам 4, 5 и т. д.). В качестве функции с тремя аргументами, например, ${\displaystyle G(n,a,b)=H_{n}(a,b)}$, последовательность гиперопераций в целом рассматривается как версия исходной Функция Аккермана ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$ — рекурсивный но нет примитивно рекурсивный - модифицировано Гудштейном для включения примитивного функция преемника вместе с другими тремя основными операциями арифметики (добавление, умножение, возведение в степень ), и сделать их более плавным расширением за пределы возведения в степень.

Первоначально три аргумента Функция Аккермана ${\displaystyle \phi }$ использует то же правило рекурсии, что и его версия Гудштейна (т.е. последовательность гиперопераций), но отличается от него двумя способами. Первый, ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$ определяет последовательность операций, начиная с сложения (п = 0), а не функция преемника, то умножение (п = 1), возведение в степень (п = 2) и т. Д. Во-вторых, начальные условия для ${\displaystyle \phi }$ результат в ${\displaystyle \phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)}$, что отличается от гиперопераций за пределами возведения в степень.^[7][16][17] Значение б +1 в предыдущем выражении означает, что ${\displaystyle \phi (a,b,3)}$ = ${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$, куда б считает количество операторы (возведения в степень), а не подсчет количества операнды ("а") как и б в ${\displaystyle a[4]b}$и так далее для операций более высокого уровня. (См. Функция Аккермана статью для подробностей.)

Обозначения

Это список обозначений, которые использовались для гиперопераций.

Имя	Обозначение, эквивалентное ${\displaystyle H_{n}(a,b)}$	Комментарий
Обозначение Кнута со стрелкой вверх	${\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}$	Использован Knuth[18] (за п ≥ 3) и встречается в нескольких справочниках.[19][20]
Обозначения Гильберта	${\displaystyle \phi _{n}(a,b)}$	Использован Дэвид Гильберт.[21]
Обозначение Гудштейна	${\displaystyle G(n,a,b)}$	Использован Рубен Гудштейн.[5]
Оригинал Функция Аккермана	${\displaystyle {\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}}$	Использован Вильгельм Аккерманн (за п ≥ 1)[15]
Функция Аккермана – Петера	${\displaystyle A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2}$	Это соответствует гипероперациям по основанию 2 (а = 2)
Обозначение Намбияра	${\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}$	Используется Nambiar (для п ≥ 1)[22]
Надстрочная запись	${\displaystyle a{}^{(n)}b}$	Использован Роберт Мунафо.[10]
Обозначение индекса (для нижних гиперопераций)	${\displaystyle a{}_{(n)}b}$	Роберт Мунафо использовал для нижних гиперопераций.[10]
Обозначение оператора (для «расширенных операций»)	${\displaystyle aO_{n-1}b}$	Используется для нижних гиперопераций Джон Доннер и Альфред Тарский (за п ≥ 1).[23]
Обозначение квадратных скобок	${\displaystyle a[n]b}$	Используется на многих интернет-форумах; удобно для ASCII.
Обозначение стрелок Конвея	${\displaystyle a\to b\to (n-2)}$	Использован Джон Хортон Конвей (за п ≥ 3)

Вариант начиная с а

Основная статья: Функция Аккермана

В 1928 г. Вильгельм Аккерманн определил функцию с 3 аргументами ${\displaystyle \phi (a,b,n)}$ который постепенно превратился в функцию с двумя аргументами, известную как Функция Аккермана. В оригинал Функция Аккермана ${\displaystyle \phi }$ был менее похож на современные гипероперации, потому что его начальные условия начинались с ${\displaystyle \phi (a,0,n)=a}$ для всех п > 2. Также он назначил дополнение к п = 0, умножение на п = 1 и возведение в степень до п = 2, поэтому начальные условия производят очень разные операции для тетрации и не только.

п	Операция	Комментарий
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a\cdot b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}$	Офсетная форма тетрация. Итерация этой операции отличается от итерация тетрации.
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}$	Не путать с пентация.

Другое начальное условие, которое использовалось, это ${\displaystyle A(0,b)=2b+1}$ (где база постоянна ${\displaystyle a=2}$), благодаря Розе Петер, которая не образует иерархию гиперопераций.

Вариант начиная с 0

В 1984 году К. В. Кленшоу и Ф. В. Дж. Олвер начали обсуждение использования гиперопераций для предотвращения компьютерных плавающая точка переливается.^[24] С тех пор многие другие авторы^[25][26][27] возобновили интерес к применению гиперопераций к плавающая точка представление. (С ЧАС_п(а, б) все определены для б = -1.) Пока обсуждают тетрация, Кленшоу и другие. принял начальное условие ${\displaystyle F_{n}(a,0)=0}$, что составляет еще одну иерархию гиперопераций. Как и в предыдущем варианте, четвертая операция очень похожа на тетрация, но компенсируется на единицу.

п	Операция	Комментарий
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=b+1}$
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}$	Офсетная форма тетрация. Итерация этой операции сильно отличается от итерация из тетрация.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0}$	Не путать с пентация.

Нижние гипероперации

Альтернативой этим гипероперациям является оценка слева направо. С

${\displaystyle {\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}}$

определить (с ° или нижним индексом)

${\displaystyle a_{(n+1)}b=\left(a_{(n+1)}(b-1)\right)_{(n)}a}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{for }}n>2\\\end{aligned}}}$

Это было распространено на порядковые числа Доннером и Тарским,^{[23][Определение 1]} к :

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\gamma }\beta &=\sup \limits _{\eta <\beta ,\xi <\gamma }(\alpha O_{\gamma }\eta )O_{\xi }\alpha \end{aligned}}}$

Из определения 1 (i), следствия 2 (ii) и теоремы 9 следует, что для а ≥ 2 и б ≥ 1, что^{[оригинальное исследование? ]}

${\displaystyle aO_{n}b=a_{(n+1)}b}$

Но здесь происходит своего рода коллапс, из-за которого не удается сформировать «энергетическую башню», традиционно ожидаемую от гипероператоров:^{[23][Теорема 3 (iii)][№ 5]}

${\displaystyle \alpha _{(4)}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.}$

Если α ≥ 2 и γ ≥ 2,^{[23][Следствие 33 (i)][№ 5]}

${\displaystyle \alpha _{(1+2\gamma +1)}\beta \leq \alpha _{(1+2\gamma )}(1+3\alpha \beta ).}$

п	Операция	Комментарий
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=a+1}$	приращение, преемник, зерация
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b}$
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}}$	Не путать с тетрация.
5	${\displaystyle F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)}$	Не путать с пентация. Похожий на тетрация.

Коммутативные гипероперации

Коммутативные гипероперации рассматривал Альберт Беннетт еще в 1914 г.^[6] что, возможно, является самым ранним замечанием о любой последовательности гиперопераций. Коммутативные гипероперации определяются правилом рекурсии

${\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}$

который симметричен по а и б, что означает, что все гипероперации коммутативны. Эта последовательность не содержит возведение в степень, и поэтому не образует иерархию гиперопераций.

п	Операция	Комментарий
0	${\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)}$	Гладкий максимум
1	${\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}$
2	${\displaystyle F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}}$	Это связано с свойства логарифма.
3	${\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}}$
4	${\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}$	Не путать с тетрация.

Системы счисления, основанные на последовательности гиперопераций

Р. Л. Гудштейн^[5] использовали последовательность гипероператоров для создания систем счисления неотрицательных целых чисел. Так называемой полное наследственное представительство целого числа п, на уровне k и база б, можно выразить следующим образом, используя только первые k гипероператоры и использование в качестве цифр только 0, 1, ..., б - 1 вместе с основанием б сам:

• Для 0 ≤ п ≤ б-1, п обозначается просто соответствующей цифрой.
• За п > б-1, представление п находится рекурсивно, сначала представляя п в виде

б [k] Икс_k [k - 1] Икс_k-1 [k - 2] ... [2] Икс₂ [1] Икс₁

куда Икс_k, ..., Икс₁ - наибольшие целые числа, удовлетворяющие (в свою очередь)

б [k] Икс_k ≤ п

б [k] Икс_k [k - 1] Икс_{k - 1} ≤ п

...

б [k] Икс_k [k - 1] Икс_{k - 1} [k - 2] ... [2] Икс₂ [1] Икс₁ ≤ п

Любой Икс_я превышающий б-1 затем повторно выражается таким же образом и так далее, повторяя эту процедуру до тех пор, пока результирующая форма не будет содержать только цифры 0, 1, ..., б-1 вместе с базой б.

Ненужных скобок можно избежать, предоставив операторам более высокого уровня более высокий приоритет в порядке оценки; таким образом,

представления уровня 1 имеют вид b [1] X, причем Икс также такой формы;

представления уровня 2 имеют вид b [2] X [1] Y, причем Икс,Y также такой формы;

представления уровня 3 имеют вид b [3] X [2] Y [1] Z, причем Икс,Y,Z также такой формы;

представления уровня 4 имеют вид b [4] X [3] Y [2] Z [1] W, причем Икс,Y,Z,W также этой формы;

и так далее.

В этом типе базы-б наследственный представления, в выражениях фигурирует сама база, а также «цифры» из набора {0, 1, ..., б-1}. Это сравнивается с обычный представление base-2, когда последнее записано в терминах базы б; например, в обычных обозначениях с основанием 2 6 = (110)₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0, тогда как наследственное представление уровня 3 по основанию 2 равно 6 = 2 [ 3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). Наследственные представления могут быть сокращены, опуская любые экземпляры [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1 и т.д .; например, приведенное выше представление уровня 3 по основанию 2 из 6 сокращений до 2 [3] 2 [1] 2.

Примеры: уникальные представления числа по основанию 2. 266, на уровнях 1, 2, 3, 4 и 5 следующие:

Уровень 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (с 133 двойками)

Уровень 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

Уровень 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

Уровень 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

Уровень 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

Смотрите также

• Большие числа

Примечания

1. Последовательности, подобные последовательность гиперопераций исторически упоминались под многими именами, в том числе: Функция Аккермана^[1] (3-аргумент), Иерархия Аккермана,^[2] то Иерархия Гжегорчика^[3][4] (что является более общим), Версия Гудштейна функции Аккермана,^[5] работа энного класса,^[6] z-кратное повторное возведение в степень x с y,^[7] стрелка операции,^[8] рейхеналгебра^[9] и гипер-п.^{[1][9][10][11][12]}
2. Позволять Икс = а[п] (- 1). По рекурсивной формуле а[п]0 = а[п − 1](а[п](−1)) ⇒ 1 = а[п − 1]Икс. Одно из решений Икс = 0, поскольку а[п - 1] 0 = 1 по определению, когда п ≥ 4. Это решение уникально, поскольку а[п − 1]б > 1 для всех а > 1, б > 0 (доказательство рекурсией).
3. Подробнее см. Степень нуля.
4. Подробнее см. Ноль в степени нуля.
5. Порядковое сложение не коммутативно; видеть порядковая арифметика для дополнительной информации

Рекомендации

1. Даниэль Гейслер (2003). "Что лежит за пределами возведения в степень?". Получено 2009-04-17.
2. Харви М. Фридман (июль 2001 г.). «Длинные конечные последовательности». Журнал комбинаторной теории, серия А. 95 (1): 102–144. Дои:10.1006 / jcta.2000.3154.
3. Мануэль Ламейрас Кампаньола и Кристофер Мур и Хосе Феликс Коста (декабрь 2002 г.). «Трансфинитные порядковые числа в рекурсивной теории чисел». Журнал сложности. 18 (4): 977–1000. Дои:10.1006 / jcom.2002.0655.
4. Марк Вирц (1999). "Характеристика иерархии Гжегорчика безопасной рекурсией". CiteSeer. CiteSeerX  10.1.1.42.3374.
5. Р. Л. Гудштейн (декабрь 1947 г.). «Трансфинитные порядковые числа в рекурсивной теории чисел». Журнал символической логики. 12 (4): 123–129. Дои:10.2307/2266486. JSTOR  2266486.
6. Альберт А. Беннетт (декабрь 1915 г.). «Записка об операции третьей степени». Анналы математики. Вторая серия. 17 (2): 74–75. Дои:10.2307/2007124. JSTOR  2007124.
7. Пол Э. Блэк (16 марта 2009 г.). «Функция Аккермана». Словарь алгоритмов и структур данных. Национальный институт стандартов и технологий США (NIST). Получено 2009-04-17.
8. Дж. Э. Литтлвуд (июль 1948 г.). «Большие числа». Математический вестник. 32 (300): 163–171. Дои:10.2307/3609933. JSTOR  3609933.
9. Маркус Мюллер (1993). "Рейхеналгебра" (PDF). Получено 2009-04-17.
10. Роберт Мунафо (ноябрь 1999 г.). «Изобретая новые операторы и функции». Большие числа в MROB. Получено 2009-04-17.
11. А. Дж. Роббинс (ноябрь 2005 г.). "Дом Тетрации". В архиве из оригинала 13 июня 2015 г.. Получено 2009-04-17.
12. И. Н. Галидакис (2003). "Математика". Архивировано из оригинал 20 апреля 2009 г.. Получено 2009-04-17.
13. Рубцов К.А., Ромерио Г.Ф. (декабрь 2005 г.). «Функция Аккермана и новая арифметическая операция». Получено 2009-04-17.
14. Дж. Ф. Ромерио (21 января 2008 г.). «Терминология гиперопераций». Форум Tetration. Получено 2009-04-21.
15. Вильгельм Аккерманн (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen". Mathematische Annalen. 99: 118–133. Дои:10.1007 / BF01459088. S2CID  123431274.
16. Роберт Мунафо (1999-11-03). «Версии функции Аккермана». Большие числа в MROB. Получено 2009-04-17.
17. Дж. Коулз и Т. Бейли (1988-09-30). «Несколько вариантов функции Аккермана». Департамент компьютерных наук, Университет Вайоминга, Ларами, Вайоминг. Получено 2009-04-17.
18. Дональд Э. Кнут (декабрь 1976 г.). «Математика и информатика: справляемся с конечностью». Наука. 194 (4271): 1235–1242. Bibcode:1976Научный ... 194.1235K. Дои:10.1126 / science.194.4271.1235. PMID  17797067. S2CID  1690489. Получено 2009-04-21.
19. Даниэль Цвиллинджер (2002). Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е издание. CRC Press. п. 4. ISBN  1-58488-291-3.
20. Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики, 2-е издание. CRC Press. С. 127–128. ISBN  1-58488-347-2.
21. Дэвид Гильберт (1926). "Über das Unendliche". Mathematische Annalen. 95: 161–190. Дои:10.1007 / BF01206605. S2CID  121888793.
22. К. К. Намбьяр (1995). «Функции Аккермана и трансфинитные порядковые числа». Письма по прикладной математике. 8 (6): 51–53. Дои:10.1016/0893-9659(95)00084-4.
23. Джон Доннер; Альфред Тарский (1969). «Расширенная арифметика порядковых чисел». Fundamenta Mathematicae. 65: 95–127. Дои:10.4064 / FM-65-1-95-127.
24. К.В. Кленшоу, Ф.В.Дж. Олвер (апрель 1984 г.). «За пределами с плавающей точкой». Журнал ACM. 31 (2): 319–328. Дои:10.1145/62.322429. S2CID  5132225.
25. В. Н. Холмс (март 1997 г.). «Составная арифметика: предложение по новому стандарту». Компьютер. 30 (3): 65–73. Дои:10.1109/2.573666. Получено 2009-04-21.
26. Р. Циммерманн (1997). «Компьютерная арифметика: принципы, архитектура и проектирование СБИС» (PDF). Конспект лекций, Лаборатория интегрированных систем, ETH Zürich. Архивировано из оригинал (PDF) на 2013-08-17. Получено 2009-04-17.
27. Т. Пинкевич, Н. Холмс и Т. Джамиль (2000). «Дизайн составного арифметического устройства для рациональных чисел». Труды IEEE Southeast Против 2000. «Подготовка к новому тысячелетию» (Кат. № 00CH37105). Труды IEEE. С. 245–252. Дои:10.1109 / SECON.2000.845571. ISBN  0-7803-6312-4. S2CID  7738926.