Ноль в степени нуля - Zero to the power of zero

Ноль в степени нуля, обозначаемый $00$ , это математическое выражение без согласования ценить. Наиболее распространенные возможности: $1$ или оставив выражение неопределенным, с существующими обоснованиями для каждого, в зависимости от контекста. алгебра и комбинаторика, общепринятым значением является $00 = 1$ , тогда как в математический анализ, выражение иногда остается неопределенным. Языки компьютерного программирования и программное обеспечение также имеют разные способы обработки этого выражения.

Дискретные показатели

Существует множество широко используемых формул, содержащих термины, включающие натуральное число экспоненты, требующие $00$ быть оцененным $1$ . Например, относительно $б 0$ как пустой продукт присваивает ему значение $1$ , даже когда $б = 0$ . В качестве альтернативы комбинаторная интерпретация из $б 0$ это количество пустые кортежи элементов из набора с $б$ элементы; есть ровно один пустой кортеж, даже если $б = 0$ . Эквивалентно теоретико-множественная интерпретация из $00$ - количество функций от пустого набора до пустого набора; есть ровно одна такая функция, пустая функция.^[1]

Полиномы и степенные ряды

Аналогично, при работе с многочлены, удобно определить $00$ как имеющий ценность $1$ . Многочлен - это выражение вида $а 0 Икс 0 + \cdot\cdot\cdot + а п Икс п$ , куда $Икс$ является неопределенным, а коэффициенты $а п$ являются действительными числами (или, в более общем смысле, элементами некоторых звенеть ). Множество всех действительных многочленов от $Икс$ обозначается $р [Икс]$ . Многочлены складываются почленно и умножаются, применяя обычные правила для показателей в неопределенных $Икс$ (видеть Продукт Коши ). С помощью этих алгебраических правил манипуляции полиномы образуют кольцо многочленов. Полином $Икс 0$ это элемент идентичности кольца многочленов, что означает, что это (единственный) элемент такой, что произведение $Икс 0$ с любым многочленом $п (Икс)$ просто $п (Икс)$ .^[2] Многочлены могут быть вычислены, специализируясь на неопределенных $Икс$ быть реальным числом. Точнее, для любого данного действительного числа $Икс 0$ есть уникальный единый кольцевой гомоморфизм $ev Икс 0 : р [Икс] \to р$ такой, что $ev Икс 0 (Икс 1) = Икс 0$ .^[3] Это называется гомоморфизм оценок. Поскольку это унитальный гомоморфизм, мы имеем $ev Икс 0 (Икс 0) = 1$ . То есть, $Икс 0 = 1$ для всех специальностей $Икс$ к действительному числу (включая ноль).

Эта перспектива важна для многих полиномиальных тождеств, возникающих в комбинаторике. Например, биномиальная теорема $(1 + Икс) п = \sum п k =0 (п k) Икс k$ не действует для $Икс = 0$ пока не $00 = 1$ .^[4] Аналогично кольца степенной ряд требовать $Икс 0 = 1$ быть верным для всех специализаций $Икс$ . Таким образом, идентичности вроде $1 / 1- Икс = \sum \infty п =0 Икс п$ и $е Икс = \sum \infty п =0 Икс п / п!$ верны только как функциональные идентичности (в том числе $Икс = 0$ ) если $00 = 1$ .

В дифференциальное исчисление, то правило власти $d / dx Икс п = nx п -1$ не действует для $п = 1$ в $Икс = 0$ пока не $00 = 1$ .

Непрерывные показатели

Участок

z = Икс у

. Красные кривые (с

z

константа) дают разные пределы как

(Икс, у)

подходы

(0, 0)

. Зеленые кривые (конечного постоянного наклона,

у = топор

) все дают предел

1

.

Пределы, связанные с алгебраическими операциями, часто можно оценить, заменив подвыражения их пределами; если результирующее выражение не определяет исходный предел, выражение известно как неопределенная форма.^[5] Фактически, когда $ж (т)$ и $грамм (т)$ являются вещественными функциями, оба приближаются $0$ (в качестве $т$ приближается к действительному числу или $\pm\infty$ ), с $ж (т) > 0$ , функция $ж (т) грамм (т)$ не нужно приближаться $1$ ; в зависимости от $ж$ и $грамм$ , предел $ж (т) грамм (т)$ может быть любым неотрицательным действительным числом или $+\infty$ , или это может расходиться. Например, функции ниже имеют вид $ж (т) грамм (т)$ с $ж (т), грамм (т) \to 0$ в качестве $т \to 0 +$ (а односторонний предел ), но пределы другие:

{ Displaystyle lim _ {т к 0 ^ {+}} {т} ^ {т} = 1,}

{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t ^ {2}}}} right) ^ {t} = 0,}

{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t ^ {2}}}} right) ^ {- t} = + infty ,}

{ displaystyle lim _ {t to 0 ^ {+}} left (e ^ {- { frac {1} {t}}} right) ^ {at} = e ^ {- a}.}

Таким образом, функция двух переменных $Икс у$ , хотя и непрерывно на множестве ${(Икс, у) : Икс > 0}$ , не может быть продлен к непрерывная функция на ${(Икс, у) : Икс > 0} \cup {(0, 0)}$ , независимо от того, как вы решите определить $00$ .^[6] Однако при определенных условиях, например, когда $ж$ и $грамм$ оба аналитические функции на нуле и $ж$ положительна на открытом интервале $(0, б)$ для некоторых положительных $б$ , предел, приближающийся справа, всегда $1$ .^[7]^[8]^[9]

Комплексные показатели

в сложный домен, функция $z ш$ можно определить для ненулевого $z$ выбрав ответвляться из $бревно z$ и определение $z ш$ в качестве $е ш бревно z$ . Это не определяет $0 ш$ поскольку нет филиала $бревно z$ определено в $z = 0$ , не говоря уже о районе $0$ .^[10]^[11]^[12]

История разных точек зрения

Споры по поводу определения $00$ продолжается по крайней мере с начала 19 века. В то время большинство математиков соглашались, что $00 = 1$ , до 1821 г. Коши^[13] перечисленные $00$ наряду с такими выражениями, как $0 / 0$ в таблица неопределенных форм. В 1830-е гг. Гульельмо Либри Каруччи далла Соммаджа^[14]^[15] опубликовал неубедительный аргумент в пользу $00 = 1$ , и Мебиус^[16] встал на его сторону, ошибочно утверждая, что $Lim т \to0 + ж (т) грамм (т) = 1$ в любое время $Lim т \to0 + ж (т) = lim т \to0 + грамм (т) = 0$ . Комментатор, подписавший свое имя просто буквой «S», привел контрпример $(е -1/ т) т$ , и это на некоторое время успокоило дискуссию. Более подробные исторические подробности можно найти в Knuth (1992).^[17]

Более поздние авторы интерпретируют описанную выше ситуацию по-разному:

Некоторые утверждают, что лучшее соотношение цены и качества $00$ зависит от контекста, и, следовательно, определение это раз и навсегда проблематично.^[18] Согласно Бенсону (1999), «выбор, определять ли $00$ основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения $00$ , то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. [...] Консенсус заключается в использовании определения $00 = 1$ , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения $00$ ."^[19]
Другие утверждают, что $00$ следует определять как $1$ . Knuth (1992) решительно утверждает, что $00$ "имеет быть $1$ ", проводя различие между ценить $00$ , что должно равняться $1$ как ратовал Либри, и предельная форма $00$ (сокращение от предела $ж (Икс) грамм (Икс)$ куда $ж (Икс), грамм (Икс) \to 0$ ), что обязательно является неопределенной формой, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему правда на их стороне».^[17] Вон приводит несколько других примеров теорем, для (простейших) формулировок которых требуется $00 = 1$ как условность.^[20]

Лечение на компьютерах

Стандарт IEEE с плавающей запятой

В IEEE 754-2008 Стандарт с плавающей запятой используется при разработке большинства библиотек с плавающей запятой. Он рекомендует ряд операций для вычисления мощности:^[21]

пау лечит $00$ в качестве $1$ . Если степень является точным целым числом, результат будет таким же, как и для пух, в противном случае результат такой же, как для Powr (кроме некоторых исключительных случаев).
пух лечит $00$ в качестве $1$ . Мощность должна быть точным целым числом. Значение определяется для отрицательных оснований; например., пух (-3,5) является $-243$ .
Powr лечит $00$ в качестве NaN (Не-число - не определено). Значение также NaN для таких случаев, как Powr (-3,2) где база меньше нуля. Значение Powr ( $Икс$ , $у$ ) определяется $е у бревно(Икс)$ .

В пау вариант вдохновлен пау функция от C99, в основном для совместимости.^[22] Это полезно в основном для языков с одной степенной функцией. В пух и Powr варианты были введены из-за противоречивого использования степенных функций и различных точек зрения (как указано выше).^[23]

Языки программирования

Стандарты C и C ++ не определяют результат $00$ (может произойти ошибка домена), но с C99, если нормативный приложение F поддерживается, результат требуется $1$ потому что есть важные приложения, для которых это значение более полезно, чем NaN^[24] (например, с дискретные показатели ). В Ява стандарт^[25] то .NET Framework метод System.Math.Pow,^[26] и Python^[27]^[28] также лечить $00$ в качестве $1$ . Некоторые языки документируют, что их операция возведения в степень соответствует пау функция от Математическая библиотека C; это случай с Lua^[29] и Perl с ** оператор^[30] (где прямо указано, что результат 0**0 зависит от платформы).

Математическое и научное программное обеспечение

APL^{[нужна цитата ]}, р^[31], Stata^{[нужна цитата ]}, SageMath^{[нужна цитата ]}, Matlab^{[нужна цитата ]}, Магма^{[нужна цитата ]}, ЗАЗОР^{[нужна цитата ]}, Единственное число^{[нужна цитата ]}, PARI / GP^[32], и GNU Octave^{[нужна цитата ]} оценивать Икс⁰ к $1$ . Mathematica^[33] и Macsyma^{[нужна цитата ]} упрощать Икс⁰ к $1$ даже если на Икс; однако, если 0⁰ вводится напрямую, это рассматривается как ошибка или неопределенность. SageMath^{[нужна цитата ]} не упрощает 0^Икс. Клен^{[нужна цитата ]}, Mathematica^[33] и PARI / GP^[32]^[34] далее различать целочисленные значения и значения с плавающей запятой: если показатель степени равен нулю целочисленного типа, они возвращают $1$ типа основания; возведение в степень с показателем с плавающей запятой, равным нулю, рассматривается как неопределенное, неопределенное или ошибочное.

внешняя ссылка

sci.math FAQ: Что такое $00$ ?
Что значит $00$ (от нуля до нулевой степени) равно? на AskAMathematician.com

[Bourbaki-1] Н. Бурбаки, Элементы математики, теория множеств, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.

[2] Николя Бурбаки (1970). Algèbre. Springer., §III.2 № 9: "L'unique monôme de degré $0$ est l'élément unité de $А [(Икс я) я \in я]$ ; на l'identifie souvent à l'élément unité $1$ де $А$ ".

[3] Николя Бурбаки (1970). Algèbre. Springer., §IV.1 № 3.

[4] «Некоторые учебники оставляют количество $00$ undefined, потому что функции $Икс 0$ и $0 Икс$ имеют разные предельные значения, когда $Икс$ уменьшается до 0. Но это ошибка. Мы должны определить $Икс 0 = 1$ , для всех $Икс$ , если биномиальная теорема верна при $Икс = 0$ , $у = 0$ , и / или $Икс = - у$ . Биномиальная теорема слишком важна для произвольных ограничений! Напротив, функция $0 Икс$ совершенно неважно ". Рональд Грэм; Дональд Кнут; Орен Паташник (1989-01-05). «Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (1-е изд.). Эддисон Уэсли Лонгман Паблишинг Ко. Стр. 162. ISBN 0-201-14236-8.

[5] Malik, S.C .; Арора, Савита (1992). Математический анализ. Нью-Йорк: Вили. п. 223. ISBN 978-81-224-0323-7. В целом предел $φ (Икс)/ ψ (Икс)$ когда $Икс = а$ в случае, если пределы обеих функций существуют, равно пределу числителя, деленному на знаменатель. Но что происходит, когда оба предела равны нулю? Дивизион ( $0/0$ ) тогда становится бессмысленным. Такой случай известен как неопределенная форма. Другие такие формы $\infty/\infty$ , $0 \times \infty$ , $\infty - \infty$ , $00$ , $1 \infty$ и $\infty 0$ .

[6] Л. Дж. Пейдж (март 1954 г.). «Примечание о неопределенных формах». Американский математический ежемесячный журнал. 61 (3): 189–190. Дои:10.2307/2307224. JSTOR 2307224.

[7] "sci.math FAQ: Что такое 0 ^ 0?". www.faqs.org.

[8] Ротандо, Луи М .; Корн, Генри (1977). "Неопределенная форма $00$ ". Математический журнал. Математическая ассоциация Америки. 50 (1): 41–42. Дои:10.2307/2689754. JSTOR 2689754.

[9] Липкин, Леонард Дж. (2003). "О неопределенной форме $00$ ". Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 34 (1): 55–56. Дои:10.2307/3595845. JSTOR 3595845.

[10] "С $журнал (0)$ не существует, $0 z$ не определено. За $Re (z) > 0$ , мы определяем его произвольно как $0$ . "Джордж Ф. Кэрриер, Макс Крук и Карл Э. Пирсон, Функции комплексной переменной: теория и методика, 2005, с. 15 ISBN 0-89871-595-4

[11] "За $z = 0$ , $ш \neq 0$ , мы определяем $0 ш = 0$ , пока $00$ не определено. "Марио Гонсалес, Классический комплексный анализ, Chapman & Hall, 1991, стр. 56. ISBN 0-8247-8415-4

[12] "... Начнем с $Икс = 0$ . Здесь $Икс Икс$ не определено ". Марк Д. Мейерсон, The $Икс Икс$ Шпиндель, Математический журнал 69, нет. 3 (июнь 1996 г.), 198-206. Дои:10.1080 / 0025570X.1996.11996428

[13] Огюстен-Луи Коши, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). В его Oeuvres Complètes, серия 2, том 3.

[14] Либри, Гийом (1830 г.). "Note sur les valeurs de la fonction $0 0 Икс$ ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1830 (6): 67–72. Дои:10.1515 / crll.1830.6.67.

[15] Либри, Гийом (1833). "Mémoire sur les fonctions прекращается". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1833 (10): 303–316. Дои:10.1515 / crll.1833.10.303.

[Möbius1834-16] А. Ф. Мёбиус (1834). "Beweis der Gleichung $00 = 1$ , нач Дж. Ф. Пфафф " [Доказательство уравнения $00 = 1$ по Дж. Ф. Пфаффу]. Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 1834 (12): 134–136. Дои:10.1515 / crll.1834.12.134.

[Knuth1992-17] а ^б Кнут, Дональд Э. (1992). «Два примечания по обозначениям». Американский математический ежемесячник. 99 (5): 403–422. arXiv:математика / 9205211. Дои:10.1080/00029890.1992.11995869.

[18] Примеры включают Эдвардс и Пенни (1994). Исчисление, 4-е изд., Прентис-Холл, стр. 466 и Киди, Биттингер и Смит (1982). Алгебра два. Эддисон-Уэсли, стр. 32.

[19] Дональд С. Бенсон, Момент доказательства: математические прозрения. Издательство Нью-Йоркского Оксфордского университета (Великобритания), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9

[20] "Что такое 0 ^ 0?". www.maa.org. Получено 2019-07-26.

[Muller_2010-21] Мюллер, Жан-Мишель; Брисебар, Николас; де Динешен, Флоран; Жаннерод, Клод-Пьер; Лефевр, Винсент; Мелькионд, Гийом; Revol, Натали; Stehlé, Damien; Торрес, Серж (2010). Справочник по арифметике с плавающей точкой (1-е изд.). Биркхойзер. п. 216. Дои:10.1007/978-0-8176-4705-6. ISBN 978-0-8176-4704-9. LCCN 2009939668. ISBN 978-0-8176-4705-6 (онлайн), ISBN 0-8176-4704-X (Распечатать)

[22] «Больше трансцендентных вопросов». grouper.ieee.org. Архивировано из оригинал на 2017-11-14. Получено 2019-05-27. (Начало обсуждения функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)

[23] «Re: расплывчатая спецификация». grouper.ieee.org. Архивировано из оригинал на 2017-11-14. Получено 2019-05-27. (Предложение вариантов при обсуждении функций мощности для пересмотра стандарта IEEE 754, май 2007 г.)

[24] Обоснование международного стандарта - языки программирования - C (PDF) (Отчет). Редакция 5.10. Апрель 2003. с. 182.

[25] "Math (Java Platform SE 8) pow". Oracle.

[26] "Метод Math.Pow библиотеки классов .NET Framework". Microsoft.

[27] «Встроенные типы - документация Python 3.8.1». Получено 2020-01-25. Python определяет pow (0, 0) и 0 ** 0 быть $1$ , как это принято в языках программирования.

[28] «math - Математические функции - Документация Python 3.8.1». Получено 2020-01-25. Исключительные случаи, насколько это возможно, соответствуют Приложению F стандарта C99. Особенно, pow (1.0, x) и pow (x, 0,0) всегда возвращать 1.0, даже если Икс это ноль или NaN.

[29] "Справочное руководство по Lua 5.3". Получено 2019-05-27.

[30] «перлоп - Возведение в степень». Получено 2019-05-27.

[31] Команда R Core (05.07.2019). "R: язык и среда для статистических вычислений - справочный указатель" (PDF). Версия 3.6.1. п. 23. Получено 22 ноября, 2019. 1 ^ г и у ^ 0 равны 1, всегда.

[pari-commit-c2fac9a15-32] а ^б "pari.git / commitdiff - 10- x ^ t_FRAC: вернуть точный результат, если возможно; например, 4 ^ (1/2) теперь 2". Получено 10 сентября, 2018.

[Wolfram-33] а ^б "Язык Wolfram Language и системная документация: мощность". Вольфрам. Получено 2 августа, 2018.

[34] Группа компаний PARI (2018). «Руководство пользователя PARI / GP (версия 2.11.0)» (PDF). стр.10, 122. Получено 4 сентября, 2018. Существует также оператор возведения в степень ^, когда показатель степени имеет целочисленный тип; в противном случае это считается трансцендентной функцией. [...] Если показатель степени $п$ является целым числом, то точные операции выполняются с использованием методов двоичного (сдвиг влево) включения. [...] Если показатель степени $п$ не является целым числом, включение рассматривается как трансцендентная функция $ехр (п бревно Икс)$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]