Большие числа - Large numbers

Для использования в других целях см. Большое количество (значения).

Большие числа это числа, которые значительно больше, чем те, которые обычно используются в повседневной жизни, например, при простом счете или в денежных транзакциях. Этот термин обычно относится к большим положительным целые числа или, в более общем смысле, большие положительные действительные числа, но его также можно использовать в других контекстах. Изучение номенклатуры и свойств больших чисел иногда называют гугологией.^[1][2]

Очень большие числа часто встречаются в таких областях, как математика, космология, криптография, и статистическая механика. Иногда люди называют числа «астрономически большими». Однако математически легко определить числа, которые намного больше, чем те, которые используются в астрономии.

В повседневном мире

Смотрите также: научная нотация, логарифмическая шкала, и порядки величины

Научная нотация был создан для обработки широкого диапазона ценностей, встречающихся в научных исследованиях. 1,0 × 10⁹, например, означает один миллиард, 1, за которой следуют девять нулей: 1 000 000 000 и 1,0 × 10⁻⁹ означает одну миллиардную, или 0,000 000 001. Написание 10⁹ вместо девяти нулей избавляет читателей от усилий и опасности подсчета длинных серий нулей, чтобы увидеть, насколько велико число.

Примеры больших чисел, описывающих повседневные объекты реального мира, включают:

• Количество биты на компьютере жесткий диск (по состоянию на 2020 г.^{[Обновить]}, обычно около 10¹³, 1–2 Туберкулез )
• Расчетное количество атомы в наблюдаемой Вселенной (10⁸⁰)
• Масса Земли составляет около 4х10⁵¹ нуклоны
• Количество клетки в теле человека (оценка 3,72 × 10¹³)^[3]
• Количество нейронные связи в человеческом мозгу (оценивается в 10¹⁴)
• Нижняя граница сложности дерева игр в шахматы, также известная как "Число Шеннона "(около 10¹²⁰)^[4]
• В Константа Авогадро это количество «элементарных объектов» (обычно атомов или молекул) в одном моль; количество атомов в 12 граммах углерод-12 - примерно 6.022×10²³.

Астрономический

Другие большие числа, касающиеся продолжительности и времени, найдены в астрономия и космология. Например, текущий Модель большого взрыва предполагает, что Вселенной 13,8 миллиарда лет (4,355 × 10¹⁷ секунд) старый, и что наблюдаемая вселенная 93 миллиарда световых лет поперек (8,8 × 10²⁶ метров) и содержит около 5 × 10²² звезд, сгруппированных примерно в 125 миллиардов (1,25 × 10¹¹) галактики, согласно наблюдениям космического телескопа Хаббл. Их около 10⁸⁰ атомы в наблюдаемая вселенная, по приблизительной оценке.^[5]

Согласно с Дон Пейдж, физик из Университета Альберты, Канада, самое длинное конечное время, которое до сих пор было явно вычислено любым физиком, равно

${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{1.1}}}}}{\mbox{ years}}}$

что соответствует шкале оценочного Время повторения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, содержащего черную дыру с предполагаемой массой всей Вселенной, наблюдаемой или нет, при условии определенного инфляционный модель с надувной чья масса 10⁻⁶ Планковские массы.^[6][7] На этот раз предполагается, что статистическая модель подвержена повторению Пуанкаре. Более упрощенный способ думать об этом времени - это модель, в которой история Вселенной повторяется произвольно много раз из-за свойства статистической механики; это временная шкала, когда она сначала снова будет в некоторой степени подобна (для разумного выбора «подобного») своему текущему состоянию.

Комбинаторный процессы быстро генерируют еще большие числа. В факториал функция, определяющая количество перестановки на наборе фиксированных объектов очень быстро растет вместе с количеством объектов. Формула Стирлинга дает точное асимптотическое выражение для этой скорости роста.

Комбинаторные процессы порождают очень большие числа в статистическая механика. Эти числа настолько велики, что обычно упоминаются только их логарифмы.

Числа Гёделя, и аналогичные числа, используемые для представления битовых строк в алгоритмическая теория информации, очень велики даже для математических утверждений разумной длины. Однако некоторые патологический числа даже больше, чем числа Гёделя в типичных математических предложениях.

Логик Харви Фридман проделал работу, связанную с очень большим количеством людей, например, с Теорема Крускала о дереве и Теорема Робертсона – Сеймура.

«Миллиарды и миллиарды»

В помощь зрителям Космос различать «миллионы» и «миллиарды», астроном Карл Саган подчеркнул "Ъ". Однако Саган никогда не говорил "миллиарды и миллиарды ". Общественная ассоциация фразы и Сагана произошла от Сегодняшнее шоу пародия. Пародируя аффект Сагана, Джонни Карсон язвительно сказал «миллиарды и миллиарды».^[8] Эта фраза, однако, теперь превратилась в шутливое вымышленное число - Саган. Ср., Саган Юнит.

Примеры

Смотрите также: § Примеры номеров в порядке номеров

• гугол = ${\displaystyle 10^{100}}$
• сантиллион = ${\displaystyle 10^{303}}$ или ${\displaystyle 10^{600}}$, в зависимости от системы именования номеров
• миллион = ${\displaystyle 10^{3003}}$ или ${\displaystyle 10^{6000}}$, в зависимости от системы именования номеров
• миллиниллиниллион = ${\displaystyle 10^{3000003}}$ или ${\displaystyle 10^{6000000}}$, в зависимости от системы именования номеров
• Самый крупный из известных Число Смита = (10¹⁰³¹−1) × (10⁴⁵⁹⁴ + 3×10²²⁹⁷ + 1)¹⁴⁷⁶ ×10^3913210
• Самый крупный из известных Мерсенн прайм = ${\displaystyle 2^{82,589,933}-1}$ (по состоянию на 21 декабря 2018 г.)
• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{\text{googol}}=10^{10^{100}}}$
• Числа Скьюза: первая примерно ${\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}}$, второй ${\displaystyle 10^{10^{10^{964}}}}$
• Число Грэма, больше, чем то, что можно представить даже с помощью опор (тетрация ). Однако его можно представить с помощью Обозначение Кнута со стрелкой вверх
• Номер Райо - это большое число, названное в честь Агустина Райо, которое считается самым большим из названных номеров. Первоначально это было определено в "дуэли с большим числом" в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007

Стандартизированная система письма

Стандартизированный способ записи очень больших чисел позволяет легко сортировать их в порядке возрастания, и можно получить хорошее представление о том, насколько одно число больше другого.

Чтобы сравнить числа в экспоненциальном представлении, скажем, 5 × 10.⁴ и 2 × 10⁵сначала сравните показатели, в данном случае 5> 4, поэтому 2 × 10⁵ > 5×10⁴. Если показатели равны, следует сравнить мантиссу (или коэффициент), таким образом, 5 × 10⁴ > 2×10⁴ потому что 5> 2.

Тетрация с основанием 10 дает последовательность ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n=10\to n\to 2=(10\uparrow )^{n}1}$, силовые башни числа 10, где ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}}$ обозначает функциональная сила функции ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ (функция также выражается суффиксом "-plex", как в гуголплекс, видеть семья Гугол ).

Это очень круглые числа, каждое из которых представляет собой порядок величины в обобщенном смысле. Грубый способ указать, насколько велико число, - указать, между какими двумя числами в этой последовательности оно находится.

Точнее, числа между ними можно выразить в виде ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}a}$, то есть с башней из 10 и числом наверху, возможно, в научных обозначениях, например ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{4.829}}}}}=(10\uparrow )^{5}4.829}$, число между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 5}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 6}$ (Обратите внимание, что ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n<(10\uparrow )^{n}a<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ если ${\displaystyle 1<a<10}$). (Смотрите также расширение тетрации до реальных высот.)

Таким образом, гуголплекс ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{2}100=(10\uparrow )^{3}2}$

Другой пример:

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 4={\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\qquad \quad \ \ \ 65,536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}\approx (10\uparrow )^{65,531}(6\times 10^{19,728})\approx (10\uparrow )^{65,533}4.3}$ (между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,533}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 65,534}$)

Таким образом, «порядок величины» числа (в большем масштабе, чем обычно подразумевается) можно охарактеризовать количеством раз (п) нужно взять ${\displaystyle log_{10}}$ чтобы получить число от 1 до 10. Таким образом, число находится между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (n+1)}$. Как объяснялось, более точное описание числа также определяет значение этого числа от 1 до 10 или предыдущее число (логарифм на один раз меньше) от 10 до 10.¹⁰или следующий, от 0 до 1.

Обратите внимание, что

${\displaystyle 10^{(10\uparrow )^{n}x}=(10\uparrow )^{n}10^{x}}$

Т.е., если число Икс слишком велик для представления ${\displaystyle (10\uparrow )^{n}x}$ мы можем сделать башню питания на одну выше, заменив Икс по журналу₁₀Икс, или найти Икс из нижнебашенного представления бревна₁₀ от всего числа. Если бы вышка электростанции содержала одно или несколько чисел, отличных от 10, эти два подхода привели бы к разным результатам, что соответствует тому факту, что удлинение башни мощности с помощью 10 внизу не то же самое, что расширение ее с помощью 10 в нижней части. верхний (но, конечно, аналогичные замечания применимы, если вся башня власти состоит из копий с одинаковым номером, отличным от 10).

Если высота башни велика, к самой высоте можно применить различные представления для больших чисел. Если высота дана только приблизительно, указывать значение вверху не имеет смысла, поэтому мы можем использовать обозначение с двумя стрелками, например ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow (7.21\times 10^{8})}$. Если значение после двойной стрелки само по себе является очень большим числом, указанное выше может рекурсивно применяться к этому значению.

Примеры:

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$ (между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 2}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$)

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})=(10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ (между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$)

Аналогично предыдущему, если показатель степени ${\displaystyle (10\uparrow )}$ не дано в точности, то давать значение справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени ${\displaystyle (10\uparrow )}$прибавьте 1 к показателю ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$, поэтому мы получаем, например, ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{3}(2.8\times 10^{12})}$.

Если показатель степени ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$ велико, то к самому этому показателю можно применить различные представления для больших чисел. Если этот показатель не указан точно, то, опять же, указание значения справа не имеет смысла, и мы можем вместо использования обозначения степени ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )}$используйте оператор тройной стрелки, например ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (7.3\times 10^{6})}$.

Если правый аргумент оператора тройной стрелки велик, к нему применимо вышеизложенное, поэтому мы имеем, например, ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$ (между ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 4}$ и ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow \uparrow 5}$). Это можно сделать рекурсивно, так что у нас будет степень оператора тройной стрелки.

Мы можем продолжить с операторами с большим количеством стрелок, записанными ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$.

Сравните это обозначение с гипероператор и Обозначение стрелок Конвея:

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$ = ( а → б → п ) = гипер (а, п + 2, б)

Преимущество первого состоит в том, что если рассматривать его как функцию б, есть естественные обозначения для степеней этой функции (как и при записи п стрелки): ${\displaystyle (a\uparrow ^{n})^{k}b}$. Например:

${\displaystyle (10\uparrow ^{2})^{3}b}$ = ( 10 → ( 10 → ( 10 → б → 2 ) → 2 ) → 2 )

и только в особых случаях сокращается нотация длинной вложенной цепочки; за б = 1 получаем:

${\displaystyle 10\uparrow ^{3}3=(10\uparrow ^{2})^{3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 )

Поскольку б также может быть очень большим, в общем случае мы пишем число с последовательностью степеней ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{k_{n}}}$ с уменьшением значений п (с точно заданными целыми показателями ${\displaystyle {k_{n}}}$) с числом в конце в обыденной научной записи. Всякий раз, когда ${\displaystyle {k_{n}}}$ слишком велико, чтобы дать точное значение, значение ${\displaystyle {k_{n+1}}}$ увеличивается на 1 и все справа от ${\displaystyle ({n+1})^{k_{n+1}}}$ переписан.

Для приближенного описания чисел отклонения от порядка убывания значений п не нужны. Например, ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow )^{5}a=(10\uparrow \uparrow )^{6}a}$, и ${\displaystyle 10\uparrow (10\uparrow \uparrow \uparrow 3)=10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 10+1)\approx 10\uparrow \uparrow \uparrow 3}$. Таким образом, мы получаем несколько противоречивый результат, что число Икс может быть настолько большим, что в каком-то смысле Икс и 10^Икс «почти равны» (арифметику больших чисел см. также ниже).

Если верхний индекс направленной вверх стрелки большой, к самому этому верхнему индексу могут применяться различные представления больших чисел. Если этот надстрочный индекс не указан точно, нет смысла повышать степень оператора до определенной степени или изменять значение, на которое он действует. Мы можем просто использовать стандартное значение справа, скажем 10, и выражение сокращается до ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10=(10\to 10\to n)}$ с приблизительным п. Для таких чисел больше не действует преимущество использования нотации со стрелкой вверх, и мы также можем использовать нотацию цепочки.

Вышесказанное может быть применено рекурсивно для этого п, так что получаем обозначение ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$ в верхнем индексе первой стрелки и т.д., или у нас есть обозначение вложенной цепочки, например:

(10 → 10 → (10 → 10 → ${\displaystyle 3\times 10^{5}}$) ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{3\times 10^{5}}10}10}$

Если количество уровней становится слишком большим, чтобы быть удобным, используется запись, в которой это количество уровней записывается в виде числа (например, использование верхнего индекса стрелки вместо написания множества стрелок). Представляем функцию ${\displaystyle f(n)=10\uparrow ^{n}10}$ = (10 → 10 → п) эти уровни становятся функциональными возможностями ж, что позволяет нам записывать число в виде ${\displaystyle f^{m}(n)}$ где м задается точно, а n - целое число, которое может быть или не быть задано точно (например: ${\displaystyle f^{2}(3\times 10^{5})}$). Если п большой, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Самыми «круглыми» из этих чисел являются числа в форме ж^м(1) = (10→10→м→ 2). Например, ${\displaystyle (10\to 10\to 3\to 2)=10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$

Сравните определение Число Грэма: использует числа 3 вместо 10, имеет 64 уровня стрелок и цифру 4 вверху; таким образом ${\displaystyle G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2<(10\to 10\to 65\to 2)=f^{65}(1)}$, но также ${\displaystyle G<f^{64}(4)<f^{65}(1)}$.

Если м в ${\displaystyle f^{m}(n)}$ слишком велик, чтобы дать точное значение, мы можем использовать фиксированный п, например п = 1, и рекурсивно применить вышеизложенное к м, т. е. количество уровней стрелок, направленных вверх, само по себе представлено в обозначении верхней стрелки, направленной вверх, и т. д. Используя обозначение функциональной степени ж это дает несколько уровней ж. Представляем функцию ${\displaystyle g(n)=f^{n}(1)}$ эти уровни становятся функциональными силами грамм, что позволяет нам записывать число в виде ${\displaystyle g^{m}(n)}$ где м задано точно, а n - целое число, которое может быть задано точно, а может и нет. Имеем (10 → 10 →м→3) = грамм^м(1). Если п большой, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Аналогичным образом мы можем ввести функцию часи т. д. Если нам нужно много таких функций, мы можем лучше пронумеровать их вместо того, чтобы каждый раз использовать новую букву, например в качестве нижнего индекса, поэтому мы получаем числа вида ${\displaystyle f_{k}^{m}(n)}$ где k и м даны точно, а n - целое число, которое может быть или нет. С помощью k= 1 для ж над, k= 2 для грамми т. д. имеем (10 → 10 →п→k) = ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(1)}$. Если п большой, мы можем использовать любое из вышеперечисленного для его выражения. Таким образом мы получаем вложенность форм ${\displaystyle {f_{k}}^{m_{k}}}$ куда идёт внутрь k убывает, и с внутренним аргументом последовательность степеней ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$ с уменьшением значений п (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в обычном научном представлении в конце.

Когда k слишком велико, чтобы быть точным, соответствующее число можно выразить как ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→п) с приблизительным п. Обратите внимание, что процесс перехода от последовательности ${\displaystyle 10^{n}}$=(10→п) к последовательности ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10}$=(10→10→п) очень похоже на переход от последнего к последовательности ${\displaystyle {f_{n}}(10)}$=(10→10→10→п): это общий процесс добавления элемента 10 к цепочке в обозначении цепочки; этот процесс можно повторить снова (см. также предыдущий раздел). Нумерация последующих версий этой функции может быть описана с помощью функций ${\displaystyle {f_{qk}}^{m_{qk}}}$, вложенный в лексикографический порядок с q наиболее значимое число, но в порядке убывания для q и для k; в качестве внутреннего аргумента у нас есть последовательность полномочий ${\displaystyle (10\uparrow ^{n})^{p_{n}}}$ с уменьшением значений п (где все эти числа являются точными целыми числами) с числом в обычном научном представлении в конце.

Для числа, слишком большого для записи в нотации со стрелками Конвея, мы можем описать его размер по длине этой цепочки, например, используя только элементы 10 в цепочке; другими словами, мы указываем его позицию в последовательности 10, 10 → 10, 10 → 10 → 10, .. Если даже позиция в последовательности является большим числом, мы можем снова применить те же методы для этого.

Примеры

Числа, выражаемые в десятичной системе счисления:

• 2² = 4
• 2²² = 2 ↑↑ 3 = 16
• 3³ = 27
• 4⁴ = 256
• 5⁵ = 3,125
• 6⁶ = 46,656
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2}}}}$ = 2 ↑↑ 4 = 2↑↑↑3 = 65,536
• 7⁷ = 823,543
• 10⁶ = 1 000 000 = 1 миллион
• 8⁸ = 16,777,216
• 9⁹ = 387,420,489
• 10⁹ = 1 000 000 000 = 1 миллиард
• 10¹⁰ = 10,000,000,000
• 10¹² = 1 000 000 000 000 = 1 триллион
• 3³³ = 3 ↑↑ 3 = 7,625,597,484,987 ≈ 7.63 × 10¹²
• 10¹⁵ = 1 000 000 000 000 000 = 1 миллион миллиардов = 1 квадриллион

Числа, выражаемые в экспоненциальной записи:

• Приблизительно количество атомов в наблюдаемой Вселенной = 10⁸⁰ = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• гугол = 10¹⁰⁰ = 10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000
• 4⁴⁴ = 4 ↑↑ 3 = 2⁵¹² ≈ 1.34 × 10¹⁵⁴ ≈ (10 ↑)² 2.2
• Приблизительное количество Объемы Планка составляя объем наблюдаемого вселенная = 8.5 × 10¹⁸⁴
• 5⁵⁵ = 5 ↑↑ 3 = 5³¹²⁵ ≈ 1.91 × 10²¹⁸⁴ ≈ (10 ↑)² 3.3
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2}}}}=2\uparrow \uparrow 5=2^{65,536}\approx 2.0\times 10^{19,728}\approx (10\uparrow )^{2}4.3}$
• 6⁶⁶ = 6 ↑↑ 3 ≈ 2.66 × 10^36,305 ≈ (10 ↑)² 4.6
• 7⁷⁷ = 7 ↑↑ 3 ≈ 3.76 × 10^695,974 ≈ (10 ↑)² 5.8
• 8⁸⁸ = 8 ↑↑ 3 ≈ 6.01 × 10^15,151,335 ≈ (10 ↑)² 7.2
• ${\displaystyle M_{77,232,917}\approx 4.67\times 10^{23,249,424}\approx 10^{10^{7.37}}=(10\uparrow )^{2}\ 7.37}$, 50-е и по состоянию на январь 2018 г.^{[Обновить]} самый крупный из известных Мерсенн прайм.
• 9⁹⁹ = 9 ↑↑ 3 ≈ 4.28 × 10^369,693,099 ≈ (10 ↑)² 8.6
• 10¹⁰¹⁰ =10 ↑↑ 3 = 10^{10,000,000,000} = (10 ↑)³ 1
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3}}}=3\uparrow \uparrow 4\approx 1.26\times 10^{3,638,334,640,024}\approx (10\uparrow )^{3}1.10}$

Числа, выражаемые в (10 ↑)^п k обозначение:

• гуголплекс = ${\displaystyle 10^{10^{100}}=(10\uparrow )^{3}2}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}=2\uparrow \uparrow 6=2^{2^{65,536}}\approx 2^{(10\uparrow )^{2}4.3}\approx 10^{(10\uparrow )^{2}4.3}=(10\uparrow )^{3}4.3}$
• ${\displaystyle 10^{10^{10^{10}}}=10\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{4}1}$
• ${\displaystyle 3^{3^{3^{3^{3}}}}=3\uparrow \uparrow 5\approx 3^{10^{3.6\times 10^{12}}}\approx (10\uparrow )^{4}1.10}$
• ${\displaystyle 2^{2^{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}=2\uparrow \uparrow 7\approx (10\uparrow )^{4}4.3}$
• 10 ↑↑ 5 = (10 ↑)⁵ 1
• 3 ↑↑ 6 ≈ (10 ↑)⁵ 1.10
• 2 ↑↑ 8 ≈ (10 ↑)⁵ 4.3
• 10 ↑↑ 6 = (10 ↑)⁶ 1
• 10 ↑↑↑ 2 = 10 ↑↑ 10 = (10 ↑)¹⁰ 1
• 2 ↑↑↑↑ 3 = 2 ↑↑↑ 4 = 2 ↑↑ 65,536 ≈ (10 ↑)^65,533 4.3 находится между 10 ↑↑ 65,533 и 10 ↑↑ 65,534

Большие числа:

• 3 ↑↑↑ 3 = 3 ↑↑ (3 ↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑ 7.6 × 10¹² ≈ 10 ↑↑ 7.6 × 10¹² находится между (10 ↑↑)² 2 и (10 ↑↑)² 3
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow )^{3}1}$ = ( 10 → 3 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}11}$
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}10^{\,\!10^{10^{3.81\times 10^{17}}}}}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow )^{4}1}$ = ( 10 → 4 → 3 )
• ${\displaystyle (10\uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow )^{497}(9.73\times 10^{32})}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow )^{5}1}$ = ( 10 → 5 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow )^{6}1}$ = ( 10 → 6 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow )^{7}1}$ = ( 10 → 7 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow )^{8}1}$ = ( 10 → 8 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow )^{9}1}$ = ( 10 → 9 → 3 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow )^{10}1}$ = ( 10 → 2 → 4 ) = ( 10 → 10 → 3 )
• Первый член в определении Число Грэма, грамм₁ = 3 ↑↑↑↑ 3 = 3 ↑↑↑ (3 ↑↑↑ 3) ≈ 3 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10¹²) ≈ 10 ↑↑↑ (10 ↑↑ 7.6 × 10¹²) находится между (10 ↑↑↑)² 2 и (10 ↑↑↑)² 3 (см. Число Грэма # Величина )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{3}1}$ = (10 → 3 → 4)
• ${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$ = ( 4 → 4 → 4 ) ${\displaystyle \approx (10\uparrow \uparrow \uparrow )^{2}(10\uparrow \uparrow )^{3}154}$
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{4}1}$ = ( 10 → 4 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 5=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{5}1}$ = ( 10 → 5 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 6=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{6}1}$ = ( 10 → 6 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 7=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{7}1=}$ = ( 10 → 7 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 8=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{8}1=}$ = ( 10 → 8 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 9=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{9}1=}$ = ( 10 → 9 → 4 )
• ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 10=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{10}1}$ = ( 10 → 2 → 5 ) = ( 10 → 10 → 4 )
• ( 2 → 3 → 2 → 2 ) = ( 2 → 3 → 8 )
• ( 3 → 2 → 2 → 2 ) = ( 3 → 2 → 9 ) = ( 3 → 3 → 8 )
• ( 10 → 10 → 10 ) = ( 10 → 2 → 11 )
• ( 10 → 2 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → 100 )
• ( 10 → 10 → 2 → 2 ) = ( 10 → 2 → ${\displaystyle 10^{10}}$ ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10^{10}}10}$
• Второй член в определении числа Грэма, грамм₂ = 3 ↑^{грамм₁} 3 > 10 ↑^{грамм₁ – 1} 10.
• ( 10 → 10 → 3 → 2 ) = (10 → 10 → (10 → 10 → ${\displaystyle 10^{10}}$) ) = ${\displaystyle 10\uparrow ^{10\uparrow ^{10^{10}}10}10}$
• грамм₃ = (3 → 3 → грамм₂) > (10 → 10 → грамм₂ – 1) > (10 → 10 → 3 → 2)
• грамм₄ = (3 → 3 → грамм₃) > (10 → 10 → грамм₃ – 1) > (10 → 10 → 4 → 2)
• ...
• грамм₉ = (3 → 3 → грамм₈) находится между (10 → 10 → 9 → 2) и (10 → 10 → 10 → 2)
• ( 10 → 10 → 10 → 2 )
• грамм₁₀ = (3 → 3 → грамм₉) находится между (10 → 10 → 10 → 2) и (10 → 10 → 11 → 2)
• ...
• грамм₆₃ = (3 → 3 → грамм₆₂) находится между (10 → 10 → 63 → 2) и (10 → 10 → 64 → 2)
• ( 10 → 10 → 64 → 2 )
• Число Грэма, грамм₆₄^[9]
• ( 10 → 10 → 65 → 2 )
• ( 10 → 10 → 10 → 3 )
• ( 10 → 10 → 10 → 4 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• ( 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 )
• (10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → ... → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10 → 10) где есть (10 → 10 → 10) «10» с

Другие обозначения

Некоторые обозначения для очень больших чисел:

• Обозначение Кнута со стрелкой вверх /гипероператоры /Функция Аккермана, в том числе тетрация
• Обозначение стрелок Конвея
• Обозначения Штейнгауза-Мозера; помимо метода построения больших чисел, здесь также используются графические обозначения с полигоны. Альтернативные обозначения, такие как более традиционные обозначения функций, также могут использоваться с теми же функциями.

Эти обозначения по сути являются функциями целых переменных, которые очень быстро увеличиваются с этими целыми числами. Все быстрее растущие функции можно легко построить рекурсивно, применяя эти функции с большими целыми числами в качестве аргумента.

Функция с вертикальной асимптотой бесполезна при определении очень большого числа, хотя функция растет очень быстро: нужно определить аргумент, очень близкий к асимптоте, то есть использовать очень маленькое число, и построение этого эквивалентно построению очень большое количество, например ответный.

Сравнение базовых значений

Следующее иллюстрирует влияние основания, отличного от 10, основания 100. Оно также иллюстрирует представление чисел и арифметику.

${\displaystyle 100^{12}=10^{24}}$, с основанием 10 показатель степени удваивается.

${\displaystyle 100^{100^{12}}=10^{2*10^{24}}}$, то же самое.

${\displaystyle 100^{100^{100^{12}}}\approx 10^{10^{2*10^{24}+0.30103}}}$, самый высокий показатель почти удвоен (увеличен на log₁₀2).

• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 2=10^{200}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 3=10^{2\times 10^{200}}}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow 4=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200}+0.3)=(10\uparrow )^{2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{3}200.3=(10\uparrow )^{4}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n=(10\uparrow )^{n-2}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{n-1}200.3=(10\uparrow )^{n}2.3<10\uparrow \uparrow (n+1)}$ (таким образом, если п большой, кажется справедливым сказать, что ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow n}$ "примерно равно" ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow n}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=10\uparrow \uparrow (10\uparrow )^{100}2.3}$
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{98}(2\times 10^{200})=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{100}2.3<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$ (сравнить ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow )^{10}1<10\uparrow \uparrow \uparrow (n+1)}$; таким образом, если п большой, кажется справедливым сказать, что ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow n}$ "примерно равно" ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow n}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$ (сравнить ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$ (сравнить ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=10\uparrow \uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$)
• ${\displaystyle 100\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{98}(10\uparrow )^{100}2.3}$ (сравнить ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow n=(10\uparrow \uparrow \uparrow )^{n-2}(10\uparrow \uparrow )^{8}(10\uparrow )^{10}1}$; если п большой это "примерно" равно)

Точность

Для ряда ${\displaystyle 10^{n}}$, изменение одной единицы в п изменяет результат в 10 раз. В таком числе ${\displaystyle 10^{\,\!6.2\times 10^{3}}}$, с 6,2 результатом правильного округления с использованием значащих цифр, истинное значение показателя может быть на 50 меньше или на 50 больше. Следовательно, результат может быть фактором ${\displaystyle 10^{50}}$ слишком большой или слишком маленький. Это кажется крайне низкой точностью, но для такого большого числа это можно считать справедливым (большая ошибка при большом количестве может быть «относительно маленькой» и, следовательно, приемлемой).

Для очень большого количества

В случае приближения очень большого числа относительная ошибка может быть большим, но все же может иметь место смысл, в котором мы хотим рассматривать числа как «близкие по величине». Например, рассмотрим

${\displaystyle 10^{10}}$ и ${\displaystyle 10^{9}}$

Относительная ошибка

${\displaystyle 1-{\frac {10^{9}}{10^{10}}}=1-{\frac {1}{10}}=90\%}$

большая относительная ошибка. Однако мы также можем учитывать относительную погрешность логарифмы; в данном случае логарифмы (с основанием 10) равны 10 и 9, поэтому относительная ошибка логарифмов составляет всего 10%.

Дело в том, что экспоненциальные функции значительно увеличивают относительные погрешности - если а и б иметь небольшую относительную ошибку,

${\displaystyle 10^{a}}$ и ${\displaystyle 10^{b}}$

относительная ошибка больше, и

${\displaystyle 10^{10^{a}}}$ и ${\displaystyle 10^{10^{b}}}$

будет иметь еще большую относительную ошибку. Тогда возникает вопрос: на каком уровне повторных логарифмов мы хотим сравнивать два числа? В некотором смысле мы можем захотеть рассмотреть

${\displaystyle 10^{10^{10}}}$ и ${\displaystyle 10^{10^{9}}}$

быть «близкими по величине». Относительная ошибка между этими двумя числами велика, а относительная ошибка между их логарифмами все еще велика; однако относительная ошибка в их повторных логарифмах мала:

${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{10}}))=10}$ и ${\displaystyle \log _{10}(\log _{10}(10^{10^{9}}))=9}$

Подобные сравнения повторных логарифмов обычны, например, в аналитическая теория чисел.

Приближенная арифметика

Существуют некоторые общие правила, относящиеся к обычным арифметическим операциям, выполняемым с очень большими числами:

• Сумма и произведение двух очень больших чисел «приблизительно» равны большему.
• ${\displaystyle (10^{a})^{\,\!10^{b}}=10^{a10^{b}}=10^{10^{b+\log _{10}a}}}$

Отсюда:

• Очень большое число, возведенное в очень большую степень, «приблизительно» равно большему из следующих двух значений: первое значение и 10 в степени второго. Например, для очень большого n мы имеем ${\displaystyle n^{n}\approx 10^{n}}$ (см., например, вычисление мега ) а также ${\displaystyle 2^{n}\approx 10^{n}}$. Таким образом ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 65536\approx 10\uparrow \uparrow 65533}$, видеть Таблица.

Систематическое создание быстрорастущих последовательностей

Основная статья: быстрорастущая иерархия

Учитывая строго возрастающую целочисленную последовательность / функцию ${\displaystyle f_{0}(n)}$ (п≥1) мы можем создать быстрорастущую последовательность ${\displaystyle f_{1}(n)=f_{0}^{n}(n)}$ (где верхний индекс п обозначает п^th функциональная сила ). Это можно повторить любое количество раз, если ${\displaystyle f_{k}(n)=f_{k-1}^{n}(n)}$, каждая последовательность растет намного быстрее, чем предыдущая. Тогда мы могли бы определить ${\displaystyle f_{\omega }(n)=f_{n}(n)}$, который растет намного быстрее любого ${\displaystyle f_{k}}$ для конечного k (здесь ω - первая бесконечная порядковый номер, представляющий предел всех конечных чисел k). Это основа для быстрорастущая иерархия функций, в которых индекс индексации расширен на все более крупные порядковые номера.

Например, начиная с ж₀(п) = п + 1:

• ж₁(п) = ж₀^п(п) = п + п = 2п
• ж₂(п) = ж₁^п(п) = 2^пп > (2 ↑) п для n ≥ 2 (используя Обозначение Кнута со стрелкой вверх )
• ж₃(п) = ж₂^п(п) > (2 ↑)^п п ≥ 2 ↑² п за п ≥ 2
• ж_k+1(п) > 2 ↑^k п за п ≥ 2, k <ω
• ж_ω(п) = ж_п(п) > 2 ↑^{п – 1} п > 2 ↑^{п − 2} (п + 3) − 3 = А(п, п) за п ≥ 2, где А это Функция Аккермана (из которых ж_ω это унарная версия)
• ж_{ω + 1}(64) > ж_ω⁶⁴(6) > Число Грэма (= грамм₆₄ в последовательности, определяемой грамм₀ = 4, грамм_k+1 = 3 ↑^грамм_k 3)
  • Это следует, отмечая ж_ω(п) > 2 ↑^{п – 1} п > 3 ↑^{п – 2} 3 + 2, а значит ж_ω(грамм_k + 2) > грамм_k+1 + 2
• ж_ω(п) > 2 ↑^{п – 1} п = (2 → п → п-1) = (2 → п → п-1 → 1) (используя Обозначение стрелок Конвея )
• ж_{ω + 1}(п) = ж_ω^п(п) > (2 → п → п-1 → 2) (потому что если грамм_k(п) = X → п → k тогда X → п → k+1 = грамм_k^п(1))
• ж_{ω +k}(п) > (2 → п → п-1 → k+1) > (п → п → k)
• ж_ω2(п) = ж_{ω +п}(п) > (п → п → п) = (п → п → п→ 1)
• ж_{ω2 +k}(п) > (п → п → п → k)
• ж_ω3(п) > (п → п → п → п)
• ж_ωk(п) > (п → п → ... → п → п) (Цепочка k+1 п 's)
• ж_ω²(п) = ж_ωп(п) > (п → п → ... → п → п) (Цепочка п+1 п 's)

В некоторых невычислимых последовательностях

В занятой бобер функция Σ является примером функции, которая растет быстрее, чем любая вычислимый функция. Его ценность даже при относительно небольшом вводе огромна. Значения Σ (п) за п = 1, 2, 3, 4 равны 1, 4, 6, 13 (последовательность A028444 в OEIS ). Σ (5) неизвестно, но определенно ≥ 4098. Σ (6) не менее 3,5 × 10¹⁸²⁶⁷.

Бесконечные числа

Основная статья: количественное числительное

Смотрите также: большой кардинал, Мало кардинал, и совершенно неописуемый кардинал

Хотя все упомянутые выше числа очень велики, все они, безусловно, конечный. Некоторые области математики определяют бесконечный и трансфинитные числа. Например, алеф-нуль это мощность из бесконечный набор из натуральные числа, и алеф-он - следующее по величине кардинальное число. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ это мощность действительных чисел. Утверждение, что ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ известен как гипотеза континуума.

Что касается правительств

Большое количество людей занимало центральное место в «мышлении, основанном на статистике», которое стало «повсеместным в современное общество. » Начиная с 17-го века теория вероятности, статистика развились и стали неотъемлемой частью обоих правительственный знания и сила. Существует сложная «взаимность между современными правительствами и математическими артефактами, которые диктуют обязанности государства и измеряют его успехи». Эти инструменты включают экономика, математическая статистика, медицинская статистика, вероятность, психология, социология, и опросы. Это привело к применению эконометрика в современности.^[10]

Иллинойс Сенатор Эверетт Дирксен отмечается, что он говорит: «Миллиард здесь, миллиард там, довольно скоро, вы говорите о настоящих деньгах». Хотя прямой записи этого замечания нет,^[11] он, как полагают, сделал это во время появления на Вечернее шоу с участием Джонни Карсона. (Видеть викицитаты Эверетта Дирксена.)

Смотрите также

• Арифметика произвольной точности
• Список арифметических программ произвольной точности
• Гипотеза больших чисел Дирака
• Экспоненциальный рост
• Быстрорастущая иерархия функций
• Гугол
• Гуголплекс
• Число Грэма
• История больших чисел
• Человеческий масштаб
• Наибольшее число
• Закон больших чисел
• Мириады (10 000) в Восточной Азии
• Имена больших чисел
• Сила двух
• Мощность 10
• Тетрация

Рекомендации

1. Один миллион вещей: визуальная энциклопедия
2. «Изучение больших чисел называется гугологией»
3. Бьянкони, Ева; Пиовезан, Эллисон; Факчин, Федерика; Берауди, Алина; Касадеи, Рафаэлла; Фрабетти, Флавия; Витале, Лоренца; Пеллери, Мария Кьяра; Тассани, Симона (ноябрь – декабрь 2013 г.). «Оценка количества клеток в организме человека». Анналы биологии человека. 40 (6): 463–471. Дои:10.3109/03014460.2013.807878. ISSN  1464-5033. PMID  23829164.
4. Шеннон, Клод (Март 1950 г.). «XXII. Программирование компьютера для игры в шахматы» (PDF). Философский журнал. Серия 7. 41 (314). Архивировано из оригинал (PDF) на 2010-03-15. Получено 2019-01-25.
5. Атомы во Вселенной. Вселенная сегодня. 30.07.2009. Проверено 13 февраля.
6. Потеря информации в черных дырах и / или в сознательных существах? Дон Н. Пейдж, Методы теплового ядра и квантовая гравитация (1995), С.А.Фуллинг (редактор), стр. 461. Дискурсы по математике и ее приложениям, № 4, факультет математики Техасского университета A&M. arXiv:hep-th / 9411193. ISBN  0-9630728-3-8.
7. Как получить гуголплекс
8. Карл Саган больше отвечает на вопросы из своей основной докладной статьи CSICOP 1994 года "Чудо и скептицизм", Skeptical Inquirer. В архиве 21 декабря 2016 г. Wayback Machine
9. Относительно сравнения с предыдущим значением: ${\displaystyle 10\uparrow ^{n}10<3\uparrow ^{n+1}3}$, поэтому начало 64 шагов с 1 вместо 4 более чем компенсирует замену чисел 3 на 10
10. Десрозьер, Ален; Наиш, Камилла, переводчик (15 сентября 2002 г.). Политика больших чисел: история статистических рассуждений (Мягкая обложка). Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN  9780674009691.
11. «Миллиард здесь, миллиард там ...», Центр Дирксена. (заархивировано из оригинал на 2004-08-16)