Пентация - Pentation

Первые три значения выражения Икс[5] 2. Значение 3 [5] 2 составляет примерно 7,626 × 10¹²; значения для высших Икс слишком велики, чтобы отображаться на графике.

В математика, пентация (или же гипер-5) следующий гипероперация после тетрация и перед гексагоном. Он определяется как повторяется (повторная) тетрация, как повторяется тетрация возведение в степень.^[1] Это бинарная операция определяется двумя числами а и б, куда а привязан к себе б раз. Например, используя гипероперация обозначения для пентации и тетрации, ${\displaystyle 2[5]3}$ означает тетратинг 2 раза 3 раза, или ${\displaystyle 2[4](2[4]2)}$. Затем это можно свести к ${\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}$

Этимология

Слово «пентация» было придумано Рубен Гудштейн в 1947 году от корней пента- (пять) и итерация. Это часть его общей схемы именования гипероперации.^[2]

Обозначение

По поводу обозначения пентации нет единого мнения; Таким образом, есть много разных способов записать операцию. Однако некоторые из них используются чаще, чем другие, а некоторые имеют явные преимущества или недостатки по сравнению с другими.

• Пентацию можно записать как гипероперация так как ${\displaystyle a[5]b}$. В этом формате ${\displaystyle a[3]b}$ может быть истолковано как результат неоднократно применяя функция ${\displaystyle x\mapsto a[2]x}$, за ${\displaystyle b}$ повторений, начиная с номера 1. Аналогично, ${\displaystyle a[4]b}$, тетрация, представляет собой значение, полученное многократным применением функции ${\displaystyle x\mapsto a[3]x}$, за ${\displaystyle b}$ повторы, начиная с цифры 1, и пентация ${\displaystyle a[5]b}$ представляет значение, полученное многократным применением функции ${\displaystyle x\mapsto a[4]x}$, за ${\displaystyle b}$ повторы, начиная с цифры 1.^[3][4] Это будет обозначение, используемое в остальной части статьи.

• В Обозначение Кнута со стрелкой вверх, ${\displaystyle a[5]b}$ представлен как ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$ или ${\displaystyle a\uparrow ^{3}b}$. В этих обозначениях ${\displaystyle a\uparrow b}$ представляет функцию возведения в степень ${\displaystyle a^{b}}$ и ${\displaystyle a\uparrow \uparrow b}$ представляет собой тетрацию. Операцию можно легко адаптировать для гексагона, добавив еще одну стрелку.

• В Обозначение стрелок Конвея, ${\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3}$.^[5]

• Другое предлагаемое обозначение ${\displaystyle {_{b}a}}$, хотя это не распространяется на более высокие гипероперации.^[6]

Примеры

Значения функции пентации также могут быть получены из значений в четвертой строке таблицы значений варианта Функция Аккермана: если ${\displaystyle A(n,m)}$ определяется рекуррентностью Аккермана ${\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))}$ с начальными условиями ${\displaystyle A(1,n)=an}$ и ${\displaystyle A(m,1)=a}$, тогда ${\displaystyle a[5]b=A(4,b)}$.^[7]

Поскольку тетрация, его основная операция, не была расширена до нецелочисленных высот, пентация ${\displaystyle a[5]b}$ в настоящее время определено только для целых значений а и б куда а > 0 и б ≥ −1 и несколько других целочисленных значений, которые май быть однозначно определенным. Как и все гипероперации порядка 3 (возведение в степень ) и выше, пентация имеет следующие тривиальные случаи (тождества), которые справедливы для всех значений а и б в пределах своей области:

• ${\displaystyle 1[5]b=1}$
• ${\displaystyle a[5]1=a}$

Кроме того, мы также можем определить:

• ${\displaystyle a[5]0=1}$
• ${\displaystyle a[5](-1)=0}$

Помимо тривиальных случаев, показанных выше, пентация генерирует очень большие числа очень быстро, так что есть только несколько нетривиальных случаев, которые дают числа, которые могут быть записаны в обычных обозначениях, как показано ниже:

• ${\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4}$
• ${\displaystyle 2[5]3=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536}$
• ${\displaystyle 2[5]4=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)}$ (показано здесь в повторяющейся экспоненциальной записи, так как она слишком велика для записи в обычной записи. Примечание ${\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}}$)
• ${\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$
• ${\displaystyle 3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)}$
• ${\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)}$ (число более 10¹⁵³ цифры)
• ${\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)}$ (число более 10¹⁰²¹⁸⁴ цифры)

Смотрите также

• Функция Аккермана
• Большие числа
• Число Грэма
• История больших чисел

Рекомендации

1. Перштейн, Миллард Х. (июнь 1962 г.), "Алгоритм 93: арифметика общего порядка", Коммуникации ACM, 5 (6): 344, Дои:10.1145/367766.368160.
2. Гудштейн, Р. Л. (1947), "Трансфинитные ординалы в рекурсивной теории чисел", Журнал символической логики, 12 (4): 123–129, Дои:10.2307/2266486, JSTOR  2266486, Г-Н  0022537.
3. Кнут, Д. Э. (1976), «Математика и информатика: справиться с конечностью», Наука, 194 (4271): 1235–1242, Дои:10.1126 / science.194.4271.1235, PMID  17797067.
4. Blakley, G.R .; Борош И. (1979), "Повторяющиеся способности Кнута", Успехи в математике, 34 (2): 109–136, Дои:10.1016/0001-8708(79)90052-5, Г-Н  0549780.
5. Конвей, Джон Хортон; Гай, Ричард (1996), Книга чисел, Springer, стр. 61, ISBN  9780387979939.
6. http://www.tetration.org/Tetration/index.html
7. Намбиар, К. К. (1995), "Функции Аккермана и трансфинитные ординалы", Письма по прикладной математике, 8 (6): 51–53, Дои:10.1016/0893-9659(95)00084-4, Г-Н  1368037.