Алгебраическая операция - Algebraic operation - Wikipedia

Алгебраические операции в решении задачи квадратное уровненеие. Знак радикала √ обозначает квадратный корень, эквивалентно возведение в степень в степени ½. В ± знак означает, что уравнение может быть записано либо со знаком +, либо со знаком -.

В математика, базовый алгебраическая операция один из распространенных операции из арифметика, который включает в себя добавление, вычитание, умножение, разделение, возводя в целое число мощность, и принимая корни (дробная мощность).^[1][2] Эти операции могут выполняться на числа, и в этом случае их часто называют арифметические операции. Подобным же образом они могут выполняться на переменные, алгебраические выражения,^[3] и в более общем плане по элементам алгебраические структуры, Такие как группы и поля.^[4] Алгебраическая операция также может быть определена просто как функция от Декартова степень из набор к тому же набору.^[5]

Период, термин алгебраическая операция может также использоваться для операций, которые могут быть определены путем сложения основных алгебраических операций, таких как скалярное произведение. В исчисление и математический анализ, алгебраическая операция также используется для операций, которые могут быть определены чисто алгебраические методы. Например, возведение в степень с целое число или же рациональный экспонента - это алгебраическая операция, но не общее возведение в степень с настоящий или же сложный экспонента. Так же производная это операция, которая не является алгебраической.

Обозначение

Символы умножения обычно опускаются и подразумеваются, когда нет оператора между двумя переменными или членами, или когда коэффициент используется. Например, 3 × Икс² записывается как 3Икс², и 2 × Икс × у записывается как 2ху.^[6] Иногда символы умножения заменяются точкой или центральной точкой,^[1] так что Икс × у записывается как Икс . у или же Икс · у. Простой текст, языки программирования, и калькуляторы также используйте одну звездочку для обозначения символа умножения,^[7] и он должен использоваться явно; например, 3Икс записывается как 3 * Икс.

Вместо использования двусмысленного знак деления (÷),^[а] подразделение обычно представлено винкулум, горизонтальная линия, как в 3/Икс + 1. В обычном тексте и языках программирования косая черта (также называемая солидус ), например 3 / (Икс + 1).

Экспоненты обычно форматируются с использованием надстрочных индексов,^[1] как в Икс². В простой текст, а в TeX язык разметки, каретка символ ^ представляет экспоненты, поэтому Икс² записывается как Икс ^ 2.^[9][10] В языках программирования, таких как Ада,^[11] Фортран,^[12] Perl,^[13] Python^[14] и Рубин,^[15] используется двойная звездочка, поэтому Икс² записывается как Икс ** 2.

В знак плюс-минус, ±, используется как сокращенное обозначение для двух выражений, записанных как одно, представляющих одно выражение со знаком плюс, а другое - со знаком минус.^[1] Например, у = Икс ± 1 представляет два уравнения у = Икс + 1 и у = Икс - 1. Иногда он используется для обозначения положительного или отрицательного термина, например ±Икс.

Арифметические и алгебраические операции

Алгебраические операции работают так же, как арифметические операции, как показано в таблице ниже.

Операция	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Добавление	${\displaystyle (5\times 5)+5+5+3}$ эквивалент: ${\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}$	${\displaystyle (b\times b)+b+b+a}$ эквивалент: ${\displaystyle b^{2}+2b+a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}$
Вычитание	${\displaystyle (7\times 7)-7-5}$ эквивалент: ${\displaystyle 7^{2}-7-5}$	${\displaystyle (b\times b)-b-a}$ эквивалент: ${\displaystyle b^{2}-b-a}$	${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}$
Умножение	${\displaystyle 3\times 5}$ или же ${\displaystyle 3\ .\ 5}$ или же ${\displaystyle 3\cdot 5}$ или же ${\displaystyle (3)(5)}$	${\displaystyle a\times b}$ или же ${\displaystyle a.b}$ или же ${\displaystyle a\cdot b}$ или же ${\displaystyle ab}$	${\displaystyle a\times a\times a}$ такой же как ${\displaystyle a^{3}}$
Разделение	${\displaystyle 12\div 4}$ или же   ${\displaystyle 12/4}$ или же   ${\displaystyle {\frac {12}{4}}}$	${\displaystyle b\div a}$ или же   ${\displaystyle b/a}$ или же   ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}$
Возведение в степень	${\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle 2^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$	${\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}$ такой же как ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$   ${\displaystyle a^{3}}$ такой же как ${\displaystyle a\times a\times a}$

Примечание: использование букв ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ произвольно, и примеры были бы одинаково верными, если бы ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ были использованы.

Свойства арифметических и алгебраических операций

Свойство	Арифметика Пример	Алгебра Пример	Комментарии ≡ означает «эквивалент» ≢ означает «не эквивалентно»
Коммутативность	${\displaystyle 3+5=5+3}$ ${\displaystyle 3\times 5=5\times 3}$	${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle a\times b=b\times a}$	Сложение и умножение коммутативный и ассоциативный[16] Вычитание и деление не являются: например ${\displaystyle (a-b)\not \equiv (b-a)}$
Ассоциативность	${\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)}$ ${\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}$	${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$

Смотрите также

• Алгебраическое выражение
• Алгебраическая функция
• Элементарная алгебра
• Факторизация квадратичного выражения
• Порядок действий

Примечания

1. В некоторых странах этот символ означает вычитание или неправильный ответ. ISO 80000-2 советует не использовать.^[8] Для получения дополнительной информации см. Обелус.

Рекомендации

1. «Сборник математических символов: общие операторы». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-27.
2. "алгебраическая операция | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com. Получено 2020-08-27.
3. Уильям Смит, Элементарная алгебра: для школ и академий, Издательство Бейли и Нойес, 1864 г. "Алгебраические операции "
4. Горацио Нельсон Робинсон, Новая элементарная алгебра: содержит основы науки для школ и академий, Ивисон, Финни, Блейкман и компания, 1866 г., стр.7
5. «Алгебраические операции - Математическая энциклопедия». encyclopediaofmath.org. Получено 2020-08-27.
6. Син Квай Менг, Чип Вай Лунг, Нг Сон Бенг, «Алгебраическая нотация», в Экспресс-учебник по математике для средней школы 1, Издательство Panpac Education Pte Ltd, ISBN  9812738827, 9789812738820, стр.68
7. Уильям П. Берлингхофф, Фернандо К. Гувеа, Математика сквозь века: нежная история для учителей и других, Издательство МАА, 2004 г., ISBN  0883857367, 9780883857366, стр.75
8. ISO 80000-2, Раздел 9 «Операции», 2-9.6
9. Рамеш Бангиа, Словарь информационных технологий, Издательство Laxmi Publications, Ltd., 2010 г., ISBN  9380298153, 9789380298153, стр. 212
10. Георгий Гретцер, Первые шаги в LaTeX, Издательство Springer, 1999 г., ISBN  0817641327, 9780817641320, стр.17
11. С. Такер Тафт, Роберт А. Дафф, Рэндалл Л. Брукардт, Эрхард Плоедередер, Паскаль Лерой, Справочное руководство по Ada 2005, Том 4348 конспектов лекций по информатике, издательство Springer, 2007 г., ISBN  3540693351, 9783540693352, стр.13
12. К. Ксавье, Fortran 77 и численные методы, Издательство New Age International, 1994, ISBN  812240670X, 9788122406702, стр.20
13. Рэндал Шварц, Брайан Фой, Том Феникс, Изучение Perl, Издательство O'Reilly Media, Inc., 2011 г., ISBN  1449313140, 9781449313142, стр.24
14. Мэтью А. Теллес, Python Power!: Полное руководство, Издательский курс "Технологии PTR", 2008 г., ISBN  1598631586, 9781598631586, стр. 46
15. Кевин С. Бэрд, Ruby на примере: концепции и код, Издательство No Starch Press, 2007 г., ISBN  1593271484, 9781593271480, стр.72
16. Рон Ларсон, Роберт Хостетлер, Брюс Х. Эдвардс, Алгебра и тригонометрия: графический подходИздательство: Cengage Learning, 2007 г., ISBN  061885195X, 9780618851959, 1114 страниц, стр.7