Идеальная теория - Ideal theory

Эта статья о математической теории. Для использования в политической философии см. Идеальная теория (политика).

В математика, идеальная теория это теория идеалы в коммутативные кольца; и является предшественником современного предмета коммутативная алгебра. Название выросло из основных соображений, таких как Теорема Ласкера – Нётер в алгебраическая геометрия, а группа идеального класса в алгебраическая теория чисел, коммутативной алгебры первой четверти ХХ века. Его использовали в влиятельных ван дер Варден текст на абстрактная алгебра примерно с 1930 г.

Рассматриваемая идеальная теория была основана на теория исключения, но в соответствии с Дэвид Гильберт вкус отошел от алгоритмический методы. Основа Грёбнера теория теперь изменила тенденцию, так как компьютерная алгебра.

Важность идеи модуль, более общий, чем идеальный, вероятно, привели к мнению, что идеальная теория было слишком узким описанием. Теория оценки тоже было важным техническим расширением и использовалось Хельмут Хассе и Оскар Зариски. Бурбаки использовал коммутативная алгебра; иногда локальная алгебра применяется к теории местные кольца. Дуглас Норткотт 1953 год Кембриджский тракт Идеальная теория (переиздан в 2004 году под тем же названием) был одним из последних упоминаний этого имени.

Топология определяется идеалом

Позволять р быть кольцом и M ан р-модуль. Тогда каждый идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ из р определяет топологию на M называется ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-адическая топология такая, что подмножество U из M является открыто если и только если для каждого Икс в U существует положительное целое число п такой, что

${\displaystyle x+{\mathfrak {a}}^{n}M\subset U.}$

В связи с этим ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-адическая топология, ${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M\}_{n}}$ является основой окрестностей ${\displaystyle x}$ и делает работу модуля непрерывной; особенно, ${\displaystyle M}$ возможно нехаусдорфово топологическая группа. Также, M это Хаусдорфово топологическое пространство если и только если ${\textstyle \bigcap _{n>0}{\mathfrak {a}}^{n}M=0.}$ Более того, когда ${\displaystyle M}$ хаусдорфова, топология такая же, как у метрическое пространство топология, заданная путем определения функции расстояния: ${\displaystyle d(x,y)=2^{-n}}$ за ${\displaystyle x\neq y}$, куда ${\displaystyle n}$ такое целое число, что ${\displaystyle x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M-{\mathfrak {a}}^{n+1}M}$.

Учитывая подмодуль N из M, то ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$- закрытие N в M равно ${\textstyle \bigcap _{n>0}(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}$, как легко показать.

Сейчас же, априори, на подмодуле N из M, есть два естественных ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-топологии: топология подпространств, индуцированная ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-адическая топология на M и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-адическая топология на N. Однако когда ${\displaystyle R}$ Нётер и ${\displaystyle M}$ конечна над ней, эти две топологии совпадают вследствие Лемма Артина – Риса..

Когда ${\displaystyle M}$ Хаусдорф, ${\displaystyle M}$ возможно завершенный как метрическое пространство; полученное пространство обозначается ${\displaystyle {\widehat {M}}}$ и имеет модульную структуру, полученную путем непрерывного расширения операций модуля. Он также совпадает с (или канонически изоморфен):

${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$

где правая часть - это завершение модуля ${\displaystyle M}$ относительно ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Пример: Позволять ${\displaystyle R=k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ - кольцо многочленов над полем и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ максимальный идеал. потом ${\displaystyle {\widehat {R}}=k[\![x_{1},\dots ,x_{n}]\!]}$ это кольцо формальной мощности.

р называется Кольцо Зарисского относительно ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ если каждый идеал в р является ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$-закрыто. Есть характеристика:

р является кольцом Зарисского относительно ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ если и только если ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ содержится в Радикал Якобсона из р.

В частности, нетерово локальное кольцо является кольцом Зарисского относительно максимального идеала.

Система параметров

А система параметров для местный Кольцо Нётериана из Измерение Крулля d с максимальный идеал м это набор элементов Икс₁, ..., Икс_d который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. м это минимальное простое число над (Икс₁, ..., Икс_d).
2. В радикальный из (Икс₁, ..., Икс_d) является м.
3. Некоторая сила м содержится в (Икс₁, ..., Икс_d).
4. (Икс₁, ..., Икс_d) является м-начальный.

Каждое локальное нётерово кольцо допускает систему параметров.

Меньше чем d элементы для генерации идеала, радикал которого м потому что тогда размер р будет меньше чем d.

Если M это k-мерный модуль над локальным кольцом, то Икс₁, ..., Икс_k это система параметров за M если длина из M / (Икс₁, ..., Икс_k)M конечно.

Теория редукции

Теория редукции восходит к влиятельной статье 1954 года Норткотта и Риса, в которой были введены основные понятия. В алгебраической геометрии теория является одним из важных инструментов для извлечения подробной информации о поведении взрывы.

Данные идеалы J ⊂ я в кольце р, идеал J считается снижение из я если есть целое число м > 0 такой, что ${\displaystyle JI^{m}=I^{m+1}}$.^[1] Для таких идеалов непосредственно из определения имеет место следующее:

• Для любого k, ${\displaystyle J^{k}I^{m}=J^{k-1}I^{m+1}=\cdots =I^{m+k}}$.
• J и я имеют один и тот же радикал и один и тот же набор минимальных простых идеалов над ними^[2] (обратное неверно).

Если р является нётеровым кольцом, то J это сокращение я если и только если Алгебра Риса р[Это] является конечный над р[Jt].^[3] (В этом причина отношения к взрыву.)

Близко родственное понятие - понятие аналитический спред. По определению кольцо конуса волокна местного нётерского кольца (р, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$) вдоль идеального я является

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)=R[It]\otimes _{R}\kappa ({\mathfrak {m}})\simeq \bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/{\mathfrak {m}}I^{n}}$.

В Измерение Крулля из ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{I}(R)}$ называется аналитический спред из я. Учитывая сокращение ${\displaystyle J\subset I}$, минимальное количество генераторов J по крайней мере, аналитический разброс я.^[4] Кроме того, для бесконечных полей справедливо частичное обратное: если ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ бесконечно и если целое число ${\displaystyle \ell }$ аналитический разброс я, то каждое сокращение я содержит редукцию, порожденную ${\displaystyle \ell }$ элементы.^[5]

Локальные когомологии в теории идеалов

Иногда для получения информации об идеале можно использовать локальные когомологии. Этот раздел предполагает некоторое знакомство с теорией пучков и теорией схем.

Позволять ${\displaystyle M}$ быть модулем над кольцом ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle I}$ идеальный. потом ${\displaystyle M}$ определяет пучок ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$ на ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$ (ограничение на Y связки, связанной с M). Разматывая определение, видишь:

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\Gamma (Y,{\widetilde {M}})=\varinjlim \operatorname {Hom} (I^{n},M)}$.

Здесь, ${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$ называется идеальное преобразование из ${\displaystyle M}$ относительно ${\displaystyle I}$.^[6]

Рекомендации

1. Huneke & Swanson 2006, Определение 1.2.1
2. Huneke & Swanson 2006, Лемма 8.1.10
3. Huneke & Swanson 2006, Теорема 8.2.1.
4. Huneke & Swanson 2006, Следствие 8.2.5.
5. Huneke & Swanson 2006, Предложение 8.3.7
6. Айзенбуд 2005, Приложение 10Б. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud2005 (помощь)

• Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8
• Эйзенбуд, Дэвид, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8.
• Хунеке, Крейг; Суонсон, Ирена (2006), Целостное замыкание идеалов, колец и модулей, Серия лекций Лондонского математического общества, 336, Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-68860-4, МИСТЕР  2266432