Список тем коммутативной алгебры - List of commutative algebra topics

Коммутативная алгебра это филиал абстрактная алгебра что изучает коммутативные кольца, их идеалы, и модули над такими кольцами. Обе алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел построены на коммутативной алгебре. Известные примеры коммутативных колец включают кольца многочленов, кольца алгебраические целые числа, в том числе обычные целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, и p-адические целые числа.

Области исследований

• Комбинаторная коммутативная алгебра
• Теория инвариантов

Активные направления исследований

• Гипотезы Серра о множественности
• Гомологические догадки

Основные понятия

• Коммутативное кольцо
• Модуль (математика)
• Кольцо идеальное, максимальный идеал, главный идеал
• Гомоморфизм колец
  • Кольцевой мономорфизм
  • Кольцевой эпиморфизм
  • Изоморфизм колец
• Делитель нуля
• Китайская теорема об остатках

Классы колец

• Поле (математика)
• Поле алгебраических чисел
• Кольцо полиномов
• Интегральный домен
• Булева алгебра (структура)
• Основная идеальная область
• Евклидова область
• Уникальный домен факторизации
• Дедекиндский домен
• Нильпотентный элементы и уменьшенные кольца
• Двойные числа
• Тензорное произведение полей
• Тензорное произведение R-алгебр

Конструкции с коммутативными кольцами

• Факторное кольцо
• Поле дробей
• Изделие колец
• Аннигилятор (теория колец)
• Интегральное закрытие

Локализация и доработка

• Завершение (теория колец)
• Формальный степенной ряд
• Локализация кольца
  • Местное кольцо
• Обычное местное кольцо
• Локализация модуля
• Оценка (математика)
  • Дискретная оценка
  • Дискретное оценочное кольцо
• I-адическая топология
• Подготовительная теорема Вейерштрасса

Свойства конечности

• Кольцо Нётериана
• Базисная теорема Гильберта
• Артинианское кольцо
• Состояние восходящей цепи (ACC) и состояние нисходящей цепочки (DCC)

Идеальная теория

Основная статья: Идеальная теория

• Дробный идеал
• Группа идеального класса
• Радикальный идеал
• Nullstellensatz Гильберта

Гомологические свойства

• Плоский модуль
• Плоская карта
• Плоская карта (теория колец)
• Проективный модуль
• Инъективный модуль
• Кольцо Коэна-Маколея
• Кольцо Горенштейна
• Полное кольцо пересечения
• Кошульский комплекс
• Теорема Гильберта о сизигиях
• Теорема Квиллена – Суслина

Теория размерностей

Основная статья: Теория размерностей (алгебра)

• Высота (теория колец)
• Глубина (теория колец)
• Полином Гильберта
• Обычное местное кольцо
  • Дискретное оценочное кольцо
• Глобальное измерение
• Регулярная последовательность (алгебра)
• Измерение Крулля
• Теорема Крулля о главном идеале

Расширения кольца, первичная декомпозиция

• Первичный идеал
• Первичное разложение и Теорема Ласкера – Нётер
• Лемма Нётер о нормализации
• Подниматься и опускаться

Связь с алгебраической геометрией

• Спектр кольца
• Касательное пространство Зарисского
• Кэлер дифференциал

Вычислительные и алгоритмические аспекты

• Теория исключения
• Основа Грёбнера
• Алгоритм Бухбергера

Активные направления исследований

• Гипотезы Серра о множественности
• гомологические гипотезы

Связанные дисциплины

• Алгебраическая теория чисел
• Алгебраическая геометрия
• Теория колец
• Теория поля (математика)
• Дифференциальная алгебра
• Гомологическая алгебра