Теория размерностей (алгебра) - Dimension theory (algebra)

В математика, теория размерности это исследование с точки зрения коммутативная алгебра понятия размерность алгебраического многообразия (и, как следствие, схема ). Потребность в теория поскольку такое, казалось бы, простое понятие является результатом существования многих определений размерности, которые эквивалентны только в наиболее регулярных случаях (см. Размерность алгебраического многообразия ). Большая часть теории размерности состоит из изучения условий, при которых несколько измерений равны, и многие важные классы коммутативные кольца могут быть определены как кольца, у которых два измерения равны; например, обычное кольцо коммутативное кольцо такое, что гомологическая размерность равно Измерение Крулля.

Теория проще для коммутативные кольца которые являются конечно порожденными алгебрами над полем, которые также являются кольца частных из кольца многочленов в конечном числе неопределенных над полем. В этом случае, который является алгебраическим аналогом случая аффинные алгебраические множества, большинство определений размерности эквивалентны. Для общих коммутативных колец отсутствие геометрической интерпретации является препятствием для развития теории; в частности, о нётеровых кольцах известно очень мало. (Капланского Коммутативные кольца дает хорошее описание нётеровского случая.)

На протяжении всей статьи ${displaystyle operatorname {dim} }$ обозначает Измерение Крулля кольца и ${displaystyle operatorname {ht} }$ то высота первичного идеала (т.е. размерности Крулля локализации в этом первичном идеале). Кольца считаются коммутативными, за исключением последнего раздела, посвященного размерностям некоммутативных колец.

Основные результаты

Позволять р быть нётеровым кольцом или оценочное кольцо. потом

${displaystyle operatorname {dim} R[x]=operatorname {dim} R+1.}$

Если р нетерово, это следует из основной теоремы ниже (в частности, Теорема Крулля о главном идеале ), но это также следствие более точного результата. Для любого первоклассного идеала ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ в р,

${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {p}}R[x])=operatorname {ht} ({mathfrak {p}})}$.

${displaystyle operatorname {ht} ({mathfrak {q}})=operatorname {ht} ({mathfrak {p}})+1}$ для любого главного идеала ${displaystyle {mathfrak {q}}supsetneq {mathfrak {p}}R[x]}$ в ${displaystyle R[x]}$ что сужается к ${displaystyle {mathfrak {p}}}$.

Это можно показать в рамках основной теории колец (см. Каплански, коммутативные кольца). Кроме того, в каждом волокне ${displaystyle operatorname {Spec} R[x] o operatorname {Spec} R}$, не может быть цепочки простых идеалов длины ${displaystyle geq 2}$.

Поскольку артиново кольцо (например, поле) имеет размерность нуль, по индукции получается формула: для артинового кольца р,

${displaystyle operatorname {dim} R[x_{1},dots ,x_{n}]=n.}$

Местные кольца

Основная теорема

Позволять ${displaystyle (R,{mathfrak {m}})}$ быть местным нётерским звеном и я а ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-первичный идеал (т.е. он находится между некоторой степенью ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {m}}}$). Позволять ${displaystyle F(t)}$ быть Серия Пуанкаре из связанное градуированное кольцо ${displaystyle operatorname {gr} _{I}R=oplus _{0}^{infty }I^{n}/I^{n+1}}$. То есть,

${displaystyle F(t)=sum _{0}^{infty }ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}$

куда ${displaystyle ell }$ относится к длина модуля (над артинианским кольцом ${displaystyle (operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I}$). Если ${displaystyle x_{1},dots ,x_{s}}$ генерировать я, то их изображение в ${displaystyle I/I^{2}}$ иметь степень 1 и генерировать ${displaystyle operatorname {gr} _{I}R}$ в качестве ${displaystyle R/I}$-алгебра. Посредством Теорема Гильберта – Серра, F - рациональная функция с одним полюсом в точке ${displaystyle t=1}$ порядка ${displaystyle dleq s}$. С

${displaystyle (1-t)^{-d}=sum _{0}^{infty }{inom {d-1+j}{d-1}}t^{j}}$,

находим, что коэффициент ${displaystyle t^{n}}$ в ${displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}}$ имеет форму

${displaystyle sum _{0}^{N}a_{k}{inom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t)|_{t=1}{n^{d-1} over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}$

То есть, ${displaystyle ell (I^{n}/I^{n+1})}$ это многочлен ${displaystyle P}$ в п степени ${displaystyle d-1}$. п называется Полином Гильберта из ${displaystyle operatorname {gr} _{I}R}$.

Мы установили ${displaystyle d(R)=d}$. Мы также устанавливаем ${displaystyle delta (R)}$ быть минимальным количеством элементов р что может вызвать ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-первоначальный идеал р. Наша цель - доказать основная теорема:

${displaystyle delta (R)=d(R)=dim R}$.

Поскольку мы можем взять s быть ${displaystyle delta (R)}$, у нас уже есть ${displaystyle delta (R)geq d(R)}$ из вышеизложенного. Далее мы докажем ${displaystyle d(R)geq operatorname {dim} R}$ индукцией по ${displaystyle d(R)}$. Позволять ${displaystyle {mathfrak {p}}_{0}subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}}_{m}}$ быть цепочкой простых идеалов в р. Позволять ${displaystyle D=R/{mathfrak {p}}_{0}}$ и Икс ненулевой неединичный элемент в D. С Икс не является делителем нуля, имеем точную последовательность

${displaystyle 0 o D{overset {x}{ o }}D o D/xD o 0}$.

Из оценки степени полинома Гильберта-Самуэля теперь следует, что ${displaystyle d(D)>d(D/xD)geq d(R/{mathfrak {p}}_{1})}$. (Это по существу следует из Лемма Артина-Риса; видеть Функция Гильберта-Самуэля для утверждения и доказательства.) ${displaystyle R/{mathfrak {p}}_{1}}$, цепь ${displaystyle {mathfrak {p}}_{i}}$ становится цепочкой длины ${displaystyle m-1}$ а значит, по предположению индукции и снова по оценке степени

${displaystyle m-1leq operatorname {dim} (R/{mathfrak {p}}_{1})leq d(R/{mathfrak {p}}_{1})leq d(D)-1leq d(R)-1}$.

Утверждение следует. Теперь осталось показать ${displaystyle operatorname {dim} Rgeq delta (R).}$ Точнее, мы покажем:

Лемма: Максимальный идеал ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ содержит элементы ${displaystyle x_{1},dots ,x_{d}}$, d = Измерение Крулля р, так что для любого я, любой простой идеал, содержащий ${displaystyle (x_{1},dots ,x_{i})}$ имеет высоту ${displaystyle geq i}$.

(Уведомление: ${displaystyle (x_{1},dots ,x_{d})}$ затем ${displaystyle {mathfrak {m}}}$-первичный.) Доказательство опускается. Он появляется, например, в Атье – Макдональде. Но он также может поставляться частным образом; идея состоит в том, чтобы использовать главное избегание.

Следствия основной теоремы

Позволять ${displaystyle (R,{mathfrak {m}})}$ быть местным нётерским звеном и поставить ${displaystyle k=R/{mathfrak {m}}}$. потом

• ${displaystyle operatorname {dim} Rleq operatorname {dim} _{k}{mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}}$, поскольку на основе ${displaystyle {mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}}$ лифтов к генераторной установке ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ пользователя Nakayama. Если выполняется равенство, то р называется обычное местное кольцо.
• ${displaystyle operatorname {dim} {widehat {R}}=operatorname {dim} R}$, поскольку ${displaystyle operatorname {gr} R=operatorname {gr} {widehat {R}}}$.
• (Теорема Крулля о главном идеале ) Высота идеала, порожденного элементами ${displaystyle x_{1},dots ,x_{s}}$ в нётерском кольце не более s. И наоборот, простой идеал высоты s является минимальный над идеалом, порожденным s элементы. (Доказательство: пусть ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ - простой идеал, минимальный над таким идеалом. потом ${displaystyle sgeq operatorname {dim} R_{mathfrak {p}}=operatorname {ht} {mathfrak {p}}}$. Обратное было показано в ходе доказательства основной теоремы.)

Теорема — Если ${displaystyle A o B}$ является морфизмом нётеровых локальных колец, то

${displaystyle operatorname {dim} B/{mathfrak {m}}_{A}Bgeq operatorname {dim} B-operatorname {dim} A.}$^[1]

Равенство выполняется, если ${displaystyle A o B}$ является плоский или в более общем смысле, если у него есть обрушивающееся имущество.

Доказательство: Пусть ${displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}$ генерировать ${displaystyle {mathfrak {m}}_{A}}$-первоначальный идеал и ${displaystyle y_{1},dots ,y_{m}}$ быть такими, чтобы их изображения производили ${displaystyle {mathfrak {m}}_{B}/{mathfrak {m}}_{A}B}$-первоначальный идеал. потом ${displaystyle {{mathfrak {m}}_{B}}^{s}subset (y_{1},dots ,y_{m})+{mathfrak {m}}_{A}B}$ для некоторых s. Возводя обе стороны к высшим силам, мы видим некоторую силу ${displaystyle {mathfrak {m}}_{B}}$ содержится в ${displaystyle (y_{1},dots ,y_{m},x_{1},dots ,x_{n})}$; т.е. последний идеал ${displaystyle {mathfrak {m}}_{B}}$-начальный; таким образом, ${displaystyle m+ngeq dim B}$. Равенство - это прямое применение свойства снижения. ${displaystyle square }$

Предложение — Если р является нётеровым кольцом, тогда

${displaystyle dim R+1=dim R[x]=dim R[![x]!]}$.

Доказательство: если ${displaystyle {mathfrak {p}}_{0}subsetneq {mathfrak {p}}_{1}subsetneq cdots subsetneq {mathfrak {p}}_{n}}$ представляют собой цепочку простых идеалов в р, тогда ${displaystyle {mathfrak {p}}_{i}R[x]}$ представляют собой цепочку простых идеалов в ${displaystyle R[x]}$ пока ${displaystyle {mathfrak {p}}_{n}R[x]}$ не является максимальным идеалом. Таким образом, ${displaystyle dim R+1leq dim R[x]}$. Для обратного неравенства пусть ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ быть максимальным идеалом ${displaystyle R[x]}$ и ${displaystyle {mathfrak {p}}=Rcap {mathfrak {m}}}$. Четко, ${displaystyle R[x]_{mathfrak {m}}=R_{mathfrak {p}}[x]_{mathfrak {m}}}$.С ${displaystyle R[x]_{mathfrak {m}}/{mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}}R[x]_{mathfrak {m}}=(R_{mathfrak {p}}/{mathfrak {p}}R_{mathfrak {p}})[x]_{mathfrak {m}}}$ тогда является локализацией области главных идеалов и имеет размерность не более единицы, получаем ${displaystyle 1+operatorname {dim} Rgeq 1+operatorname {dim} R_{mathfrak {p}}geq operatorname {dim} R[x]_{mathfrak {m}}}$ по предыдущему неравенству. С ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ произвольно, следует ${displaystyle 1+operatorname {dim} Rgeq operatorname {dim} R[x]}$. ${displaystyle square }$

Формула высоты Нагаты

Теорема — Позволять ${displaystyle Rsubset R'}$ быть областями целостности, ${displaystyle {mathfrak {p}}'subset R'}$ быть главным идеалом и ${displaystyle {mathfrak {p}}=Rcap {mathfrak {p}}'}$. Если р является нётеровым кольцом, то

${displaystyle dim R'_{{mathfrak {p}}'}+operatorname {tr.deg} _{R/{mathfrak {p}}}{R'/{mathfrak {p}}'}leq dim R_{mathfrak {p}}+operatorname {tr.deg} _{R}{R'}}$

где равенство выполняется, если либо (a) р является универсальная цепочка и р' конечно порожден р-алгебра или (б) р' кольцо многочленов над р.

Доказательство:^[2] Сначала предположим ${displaystyle R'}$ кольцо многочленов. Индукцией по числу переменных достаточно рассмотреть случай ${displaystyle R'=R[x]}$. С р' плоский р,

${displaystyle dim R'_{mathfrak {p'}}=dim R_{mathfrak {p}}+dim kappa ({mathfrak {p}})otimes _{R}{R'}_{{mathfrak {p}}'}}$.

К Лемма Нётер о нормализации, второй член в правой части:

${displaystyle dim kappa ({mathfrak {p}})otimes _{R}R'-dim kappa ({mathfrak {p}})otimes _{R}R'/{mathfrak {p}}'=1-operatorname {tr.deg} _{kappa ({mathfrak {p}})}kappa ({mathfrak {p}}')=operatorname {tr.deg} _{R}R'-operatorname {tr.deg} kappa ({mathfrak {p}}').}$

Далее предположим ${displaystyle R'}$ генерируется одним элементом; таким образом, ${displaystyle R'=R[x]/I}$. Если я = 0, то все готово. Предположим, что нет. потом ${displaystyle R'}$ алгебраичен над р и так ${displaystyle operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}$. С р это подкольцо р', ${displaystyle Icap R=0}$ и так ${displaystyle operatorname {ht} I=dim R[x]_{I}=dim Q(R)[x]_{I}=1-operatorname {tr.deg} _{Q(R)}kappa (I)=1}$поскольку ${displaystyle kappa (I)=Q(R')}$ алгебраичен над ${displaystyle Q(R)}$. Позволять ${displaystyle {mathfrak {p}}^{prime c}}$ обозначают прообраз в ${displaystyle R[x]}$ из ${displaystyle {mathfrak {p}}'}$. Тогда как ${displaystyle kappa ({mathfrak {p}}^{prime c})=kappa ({mathfrak {p}})}$, в полиномиальном случае

${displaystyle operatorname {ht} {{mathfrak {p}}'}=operatorname {ht} {{mathfrak {p}}^{prime c}/I}leq operatorname {ht} {{mathfrak {p}}^{prime c}}-operatorname {ht} {I}=dim R_{mathfrak {p}}-operatorname {tr.deg} _{kappa ({mathfrak {p}})}kappa ({mathfrak {p}}').}$

Здесь заметим, что неравенство есть равенство, если р' цепная связь. Наконец, работая с цепочкой простых идеалов, нетрудно свести общий случай к рассмотренному выше. ${displaystyle square }$

Смотрите также: Квази-несмешанное кольцо.

Гомологические методы

Обычные кольца

Позволять р быть нётеровым кольцом. В проективное измерение конечного р-модуль M - кратчайшая длина любой проективной резольвенты M (возможно бесконечное) и обозначается ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M}$. Мы установили ${displaystyle operatorname {gl.dim} R=sup{operatorname {pd} _{R}M|{ ext{M is a finite module}}}}$; это называется глобальное измерение из р.

Предполагать р локально с полем вычетов k.

Лемма — ${displaystyle operatorname {pd} _{R}k=operatorname {gl.dim} R}$ (возможно бесконечно).

Доказательство. Мы утверждаем: для любого конечного р-модуль M,

${displaystyle operatorname {pd} _{R}Mleq nLeftrightarrow operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0}$.

Путем сдвига размерности (см. Доказательство теоремы Серра ниже) достаточно доказать это для ${displaystyle n=0}$. Но потом, по локальный критерий плоскостности, ${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0Rightarrow M{ ext{ flat }}Rightarrow M{ ext{ free }}Rightarrow operatorname {pd} _{R}(M)leq 0.}$Сейчас же,

${displaystyle operatorname {gl.dim} Rleq nRightarrow operatorname {pd} _{R}kleq nRightarrow operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0Rightarrow operatorname {pd} _{R}-leq nRightarrow operatorname {gl.dim} Rleq n,}$

завершая доказательство. ${displaystyle square }$

Замечание: Доказательство также показывает, что ${displaystyle operatorname {pd} _{R}K=operatorname {pd} _{R}M-1}$ если M не бесплатно и ${displaystyle K}$ является ядром некоторой сюръекции из свободного модуля в M.

Лемма — Позволять ${displaystyle R_{1}=R/fR}$, ж ненулевой делитель р. Если ж не является нулевым делителем на M, тогда

${displaystyle operatorname {pd} _{R}Mgeq operatorname {pd} _{R_{1}}(Motimes R_{1})}$.

Доказательство: если ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M=0}$, тогда M является р-бесплатно и поэтому ${displaystyle Motimes R_{1}}$ является ${displaystyle R_{1}}$-свободный. Далее предположим ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M>0}$. Тогда у нас есть: ${displaystyle operatorname {pd} _{R}K=operatorname {pd} _{R}M-1}$ как в примечании выше. Таким образом, по индукции достаточно рассмотреть случай ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M=1}$. Тогда есть проективное разрешение: ${displaystyle 0 o P_{1} o P_{0} o M o 0}$, который дает:

${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1}) o P_{1}otimes R_{1} o P_{0}otimes R_{1} o Motimes R_{1} o 0}$.

Но ${displaystyle operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M={min M|fm=0}=0.}$ Следовательно, ${displaystyle operatorname {pd} _{R}(Motimes R_{1})}$ не больше 1. ${displaystyle square }$

Теорема Серра — р обычный ${displaystyle Leftrightarrow operatorname {gl.dim} R<infty Leftrightarrow operatorname {gl.dim} R=dim R.}$

Доказательство:^[3] Если р регулярно, мы можем написать ${displaystyle k=R/(f_{1},dots ,f_{n})}$, ${displaystyle f_{i}}$ регулярная система параметров. Точная последовательность ${displaystyle 0 o M{overset {f}{ o }}M o M_{1} o 0}$, немного ж в максимальном идеале конечных модулей, ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M<infty }$, дает нам:

${displaystyle 0=operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k) o operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k) o operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){overset {f}{ o }}operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),quad igeq operatorname {pd} _{R}M.}$

Но ж здесь ноль, так как он убивает k. Таким образом, ${displaystyle operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)simeq operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}$ и следовательно ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+operatorname {pd} _{R}M}$. Используя это, мы получаем:

${displaystyle operatorname {pd} _{R}k=1+operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},dots ,f_{n-1}))=cdots =n.}$

Доказательство обратного проводится индукцией по ${displaystyle operatorname {dim} R}$. Начнем с индуктивного шага. Набор ${displaystyle R_{1}=R/f_{1}R}$, ${displaystyle f_{1}}$ среди системы параметров. Показывать р регулярно, достаточно показать ${displaystyle R_{1}}$ регулярно. Но с тех пор ${displaystyle dim R_{1}<dim R}$, по предположению индукции и предыдущей лемме с ${displaystyle M={mathfrak {m}}}$,

${displaystyle operatorname {gl.dim} R<infty Rightarrow operatorname {gl.dim} R_{1}=operatorname {pd} _{R_{1}}kleq operatorname {pd} _{R_{1}}{mathfrak {m}}/f_{1}{mathfrak {m}}<infty Rightarrow R_{1}{ ext{ regular}}.}$

Остается основной шаг. Предполагать ${displaystyle operatorname {dim} R=0}$. Мы утверждаем ${displaystyle operatorname {gl.dim} R=0}$ если конечно. (Это означало бы, что р это полупростое локальное кольцо; т.е. поле.) Если это не так, то существует некоторый конечный модуль ${displaystyle M}$ с ${displaystyle 0<operatorname {pd} _{R}M<infty }$ и, таким образом, мы можем найти M с ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M=1}$. По лемме Накаямы существует сюръекция ${displaystyle F o M}$ из бесплатного модуля F к M чье ядро K содержится в ${displaystyle {mathfrak {m}}F}$. С ${displaystyle operatorname {dim} R=0}$, максимальный идеал ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ является связанный премьер из р; т.е. ${displaystyle {mathfrak {m}}=operatorname {ann} (s)}$ для некоторого ненулевого s в р. С ${displaystyle Ksubset {mathfrak {m}}F}$, ${displaystyle sK=0}$. С K не равно нулю и является бесплатным, это означает ${displaystyle s=0}$, что абсурдно. ${displaystyle square }$

Следствие — Регулярное локальное кольцо - это уникальная область факторизации.

Доказательство: Пусть р регулярное локальное кольцо. потом ${displaystyle operatorname {gr} Rsimeq k[x_{1},dots ,x_{d}]}$, представляющий собой интегрально замкнутую область. Это стандартное упражнение по алгебре, чтобы показать, что из этого следует, что р является целозамкнутой областью. Теперь нам нужно показать каждую дивизориальный идеал является основным; т.е. группа классов дивизоров р исчезает. Но, по словам Бурбаки, Коммутативный Algèbre, глава 7, §. 4. Следствие 2 предложения 16, дивизориальный идеал является главным, если он допускает конечную свободную резольвенту, что действительно так по теореме. ${displaystyle square }$

Теорема — Позволять р несущий. потом ${displaystyle operatorname {gl.dim} R[x_{1},dots ,x_{n}]=operatorname {gl.dim} R+n}$.

Глубина

Позволять р быть кольцом и M модуль над ним. Последовательность элементов ${displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}$ в ${displaystyle R}$ называется M-регулярная последовательность если ${displaystyle x_{1}}$ не является делителем нуля на ${displaystyle M}$ и ${displaystyle x_{i}}$ не является делителем нуля на ${displaystyle M/(x_{1},dots ,x_{i-1})M}$ для каждого ${displaystyle i=2,dots ,n}$. Априори, не очевидно, является ли какая-либо перестановка регулярной последовательности регулярной (см. раздел ниже для получения положительного ответа).

Позволять р - локальное нётерово кольцо с максимальным идеалом ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ и положи ${displaystyle k=R/{mathfrak {m}}}$. Тогда по определению глубина конечного р-модуль M является супремумом длин всех M-регулярные последовательности в ${displaystyle {mathfrak {m}}}$. Например, у нас есть ${displaystyle operatorname {depth} M=0Leftrightarrow {mathfrak {m}}}$ состоит из нулевых делителей на M ${displaystyle Leftrightarrow {mathfrak {m}}}$ связан с M. По индукции находим

${displaystyle operatorname {depth} Mleq dim R/{mathfrak {p}}}$

для любых связанных простых чисел ${displaystyle {mathfrak {p}}}$ из M. Особенно, ${displaystyle operatorname {depth} Mleq operatorname {dim} M}$. Если для M = р, р называется Кольцо Коэна – Маколея.

Пример: Регулярное нетерово локальное кольцо - это Коэна – Маколея (поскольку регулярная система параметров является р-регулярная последовательность.)

В общем, нётерово кольцо называется кольцом Коэна – Маколея, если локализации на всех максимальных идеалах являются Коэна – Маколея. Отметим, что кольцо Коэна – Маколея является универсальным цепным. Это означает, например, что кольцо многочленов ${displaystyle k[x_{1},dots ,x_{d}]}$ является универсальной цепной связью, поскольку она регулярна и, следовательно, Коэна – Маколея.

Предложение (Рис) — Позволять M быть конечным р-модуль. потом ${displaystyle operatorname {depth} operatorname {M} =sup{n|operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n}}$.

В общем, для любого конечного р-модуль N чья поддержка точно ${displaystyle {{mathfrak {m}}}}$,

${displaystyle operatorname {depth} operatorname {M} =sup{n|operatorname {Ext} _{R}^{i}(N,M)=0,i<n}}$.

Доказательство. Сначала докажем индукцией по п следующее утверждение: для каждого р-модуль M и каждый M-регулярная последовательность ${displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}$ в ${displaystyle {mathfrak {m}}}$,

(*) ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)simeq operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},dots ,x_{n})M).}$

Основной шаг п = 0 тривиально. Далее, по индуктивному предположению, ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)simeq operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},dots ,x_{n-1})M)}$. Но последний равен нулю, поскольку аннулятор N содержит некоторую силу ${displaystyle x_{n}}$. Таким образом, из точной последовательности ${displaystyle 0 o M{overset {x_{1}}{ o }}M o M_{1} o 0}$ и тот факт, что ${displaystyle x_{1}}$ убивает N, снова используя индуктивную гипотезу, получаем

${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)simeq operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)simeq operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},dots ,x_{n})M)}$,

доказательство (*). Сейчас если ${displaystyle n<operatorname {depth} M}$, то мы можем найти M-регулярная последовательность длиной более п и поэтому по (*) мы видим ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0}$. Осталось показать ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)eq 0}$ если ${displaystyle n=operatorname {depth} M}$. По (*) можно считать п = 0. Тогда ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ связан с M; таким образом поддерживает M. С другой стороны, ${displaystyle {mathfrak {m}}in operatorname {Supp} (N).}$ Из линейной алгебры следует, что существует ненулевой гомоморфизм из N к M по модулю ${displaystyle {mathfrak {m}}}$; следовательно, один из N к M по лемме Накаямы. ${displaystyle square }$

В Формула Ауслендера – Бухсбаума связывает глубину и проективное измерение.

Теорема — Позволять M - конечный модуль над нётеровым локальным кольцом р. Если ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M<infty }$, тогда

${displaystyle operatorname {pd} _{R}M+operatorname {depth} M=operatorname {depth} R.}$

Доказательство. Рассуждаем индукцией по ${displaystyle operatorname {pd} _{R}M}$, основной случай (т. е. M бесплатно) тривиально. По лемме Накаямы имеем точную последовательность ${displaystyle 0 o K{overset {f}{ o }}F o M o 0}$ куда F бесплатно и изображение ж содержится в ${displaystyle {mathfrak {m}}F}$. С ${displaystyle operatorname {pd} _{R}K=operatorname {pd} _{R}M-1,}$ нам нужно показать ${displaystyle operatorname {depth} K=operatorname {depth} M+1}$.С ж убивает k, точная последовательность дает: для любого я,

${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F) o operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M) o operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K) o 0.}$

Обратите внимание, что крайний левый член равен нулю, если ${displaystyle i<operatorname {depth} R}$. Если ${displaystyle i<operatorname {depth} K-1}$, то поскольку ${displaystyle operatorname {depth} Kleq operatorname {depth} R}$ по индуктивному предположению, мы видим ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$ Если ${displaystyle i=operatorname {depth} K-1}$, тогда ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)eq 0}$ и это должно быть ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)eq 0.}$ ${displaystyle square }$

В условных обозначениях для любых р-модуль M, мы позволяем

${displaystyle Gamma _{mathfrak {m}}(M)={sin M|operatorname {supp} (s)subset {{mathfrak {m}}}}={sin M|{mathfrak {m}}^{j}s=0{ ext{ for some }}j}.}$

Без труда видно, что ${displaystyle Gamma _{mathfrak {m}}}$ - точный слева функтор, и пусть ${displaystyle H_{mathfrak {m}}^{j}=R^{j}Gamma _{mathfrak {m}}}$ быть его j-го правый производный функтор, называется локальные когомологии из р. С ${displaystyle Gamma _{mathfrak {m}}(M)=varinjlim operatorname {Hom} _{R}(R/{mathfrak {m}}^{j},M)}$через абстрактную чепуху,

${displaystyle H_{mathfrak {m}}^{i}(M)=varinjlim operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{mathfrak {m}}^{j},M)}$.

Это наблюдение доказывает первую часть следующей теоремы.

Теорема (Гротендик) — Позволять M быть конечным р-модуль. потом

1. ${displaystyle operatorname {depth} operatorname {M} =sup{n|H_{mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i<n}}$.
2. ${displaystyle H_{mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i>dim M}$ и ${displaystyle eq 0}$ если ${displaystyle i=dim M.}$
3. Если р полный и d его размерность Крулля и если E это инъективная оболочка из k, тогда

   ${displaystyle operatorname {Hom} _{R}(H_{mathfrak {m}}^{d}(-),E)}$

является представимым (представляющий объект иногда называют канонический модуль особенно если р это Коэн-Маколей.)

Доказательство: 1. уже отмечено (за исключением того, чтобы показать ненулевое значение на степени, равной глубине M; используйте индукцию, чтобы увидеть это) и 3. это общий факт по абстрактной чепухе. 2. является следствием явного вычисления локальных когомологий с помощью комплексов Кошуля (см. Ниже). ${displaystyle square }$

Кошульский комплекс

Основная статья: Кошульский комплекс

Позволять р быть кольцом и Икс элемент в нем. Мы формируем цепной комплекс K(Икс) предоставлено ${displaystyle K(x)_{i}=R}$ за я = 0, 1 и ${displaystyle K(x)_{i}=0}$ для любого другого я с дифференциалом

${displaystyle d:K_{1}(R) o K_{0}(R),,rmapsto xr.}$

Для любого р-модуль M, тогда получаем комплекс ${displaystyle K(x,M)=K(x)otimes _{R}M}$ с дифференциалом ${displaystyle dotimes 1}$ и разреши ${displaystyle operatorname {H} _{*}(x,M)=operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$ быть его гомологиями. Примечание:

${displaystyle operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM}$,

${displaystyle operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M={min M|xm=0}}$.

В более общем смысле, учитывая конечную последовательность ${displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}$ элементов в кольце р, мы формируем тензорное произведение комплексов:

${displaystyle K(x_{1},dots ,x_{n})=K(x_{1})otimes dots otimes K(x_{n})}$

и разреши ${displaystyle operatorname {H} _{*}(x_{1},dots ,x_{n},M)=operatorname {H} _{*}(K(x_{1},dots ,x_{n},M))}$ его гомология. Как прежде,

${displaystyle operatorname {H} _{0}({underline {x}},M)=M/(x_{1},dots ,x_{n})M}$,

${displaystyle operatorname {H} _{n}({underline {x}},M)=operatorname {Ann} _{M}((x_{1},dots ,x_{n}))}$.

Теперь у нас есть гомологическая характеристика регулярной последовательности.

Теорема — Предполагать р Нётериан, M является конечным модулем над р и ${displaystyle x_{i}}$ находятся в Радикал Якобсона из р. Тогда следующие эквивалентны

(я) ${displaystyle {underline {x}}}$ является M-регулярная последовательность.

(ii) ${displaystyle operatorname {H} _{i}({underline {x}},M)=0,igeq 1}$.

(iii) ${displaystyle operatorname {H} _{1}({underline {x}},M)=0}$.

Следствие — Последовательность ${displaystyle x_{i}}$ является M-регулярен тогда и только тогда, когда любая из его перестановок такова.

Следствие — Если ${displaystyle x_{1},dots ,x_{n}}$ является M-регулярная последовательность, то ${displaystyle x_{1}^{j},dots ,x_{n}^{j}}$ также является M-регулярная последовательность для каждого положительного целого числа j.

Комплекс Кошуля - мощный вычислительный инструмент. Например, из теоремы и следствия

${displaystyle operatorname {H} _{mathfrak {m}}^{i}(M)simeq varinjlim operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},dots ,x_{n}^{j};M))}$

(Здесь используется самодуальность комплекса Кошуля; см. Предложение 17.15 Эйзенбуда, Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии.)

Другой пример был бы

Теорема — Предполагать р местный. Тогда пусть

${displaystyle s=dim _{k}{mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}}$,

размер Касательное пространство Зарисского (часто называемый размер встраивания из р). потом

${displaystyle {inom {s}{i}}leq dim _{k}operatorname {Tor} _{i}^{R}(k,k)}$.

Замечание: Теорема может быть использована для второго быстрого доказательства теоремы Серра, что р является регулярным тогда и только тогда, когда он имеет конечную глобальную размерность. Действительно, по приведенной выше теореме ${displaystyle operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)eq 0}$ и поэтому ${displaystyle operatorname {gl.dim} Rgeq s}$. С другой стороны, как ${displaystyle operatorname {gl.dim} R=operatorname {pd} _{R}k}$, формула Ауслендера – Буксбаума дает ${displaystyle operatorname {gl.dim} R=dim R}$. Следовательно, ${displaystyle dim Rleq sleq operatorname {gl.dim} R=dim R}$.

Далее мы используем гомологии Кошуля для определения и изучения полные кольца пересечения. Позволять р быть местным нётерским кольцом. По определению первое отклонение из р размерность векторного пространства

${displaystyle epsilon _{1}(R)=dim _{k}operatorname {H} _{1}({underline {x}})}$

куда ${displaystyle {underline {x}}=(x_{1},dots ,x_{d})}$ это система параметров. По определению, р является полным кольцом пересечений, если ${displaystyle dim R+epsilon _{1}(R)}$ - размерность касательного пространства. (См. Геометрическое значение в Хартсхорне.)

Теорема — р является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда его алгебра Кошуля является внешней алгеброй.

Инъективный размер и размеры Tor

Позволять р несущий. В инъективное измерение из р-модуль M обозначается ${displaystyle operatorname {id} _{R}M}$ определяется так же, как проективное измерение: это минимальная длина инъективного разрешения M. Позволять ${displaystyle operatorname {Mod} _{R}}$ быть категорией р-модули.

Теорема — Для любого кольца р,

${displaystyle {egin{aligned}operatorname {gl.dim} R,&=operatorname {sup} {operatorname {id} _{R}M|Min operatorname {Mod} _{R}}&=inf{n|operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,,i>n,M,Nin operatorname {Mod} _{R}}end{aligned}}}$

Доказательство: предположим ${displaystyle operatorname {gl.dim} Rleq n}$. Позволять M быть р-модуль и рассмотрите решение

${displaystyle 0 o M o I_{0}{overset {phi _{0}}{ o }}I_{1} o dots o I_{n-1}{overset {phi _{n-1}}{ o }}N o 0}$

куда ${displaystyle I_{i}}$ являются инъективными модулями. Для любого идеала я,

${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)simeq operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,operatorname {ker} (phi _{n-1}))simeq dots simeq operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),}$

который равен нулю, поскольку ${displaystyle operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)}$ вычисляется через проективную резольвенту ${displaystyle R/I}$. Таким образом, Критерий Бэра, N инъективно. Мы делаем вывод, что ${displaystyle sup{operatorname {id} _{R}M|M}leq n}$. По сути, перевернув стрелки, можно доказать подтекст и другим способом. ${displaystyle square }$

Теорема предлагает рассмотреть некий двойник глобальной размерности:

${displaystyle operatorname {w.gl.dim} =inf{n|operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,,i>n,M,Nin operatorname {Mod} _{R}}}$.

Первоначально это называлось слабым глобальным измерением р но сегодня его чаще называют Размер Tor из р.

Замечание: для любого кольца р, ${displaystyle operatorname {w.gl.dim} Rleq operatorname {gl.dim} R}$.

Предложение — Кольцо имеет слабую глобальную размерность нуль тогда и только тогда, когда оно фон Нейман регулярный.

Теория множественности

Смотрите также: теория пересечений

Размерности некоммутативных колец

Позволять А быть градуированной алгеброй над полем k. Если V конечномерное порождающее подпространство в А, то пусть ${displaystyle f(n)=dim _{k}V^{n}}$ а затем положите

${displaystyle operatorname {gk} (A)=limsup _{n o infty }{log f(n) over log n}}$.

Это называется Размерность Гельфанда – Кириллова из А. Легко показать ${displaystyle operatorname {gk} (A)}$ не зависит от выбора V.

Пример: Если А конечномерно, то gk (А) = 0. Если А - аффинное кольцо, то gk (А) = Измерение Крулля А.

Неравенство Бернштейна — Видеть [1]

Смотрите также: Измерение Голди, Измерение Крулля – Габриэля.

Смотрите также

• Басовый номер
• Идеальный комплекс
• амплитуда

Примечания

1. Эйзенбуд, Теорема 10.10 ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFEisenbud (помощь)
2. Мацумура, Теорема 15.5. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
3. Вайбель 1994, Теорема 4.4.16 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFWeibel1994 (помощь)

Рекомендации

• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993), Кольца Коэна-Маколея, Кембриджские исследования по высшей математике, 39, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-41068-7, МИСТЕР  1251956
• Часть II Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. С точки зрения алгебраической геометрии, Тексты для выпускников по математике, 150, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-94268-8, МИСТЕР  1322960.
• Глава 10 Атья, Майкл Фрэнсис; Макдональд, И. (1969), Введение в коммутативную алгебру, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8.
• Каплански, Ирвинг, Коммутативные кольца, Аллин и Бэкон, 1970.
• Х. Мацумура Коммутативная теория колец. Перевод с японского М. Рейда. Второе издание. Кембриджские исследования по высшей математике, 8.
• Серр, Жан-Пьер (1975), Язык Альжебра. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957–1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Конспект лекций по математике (на французском языке), 11, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag
• Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру. Издательство Кембриджского университета.