Локальный критерий плоскостности - Local criterion for flatness

В алгебре локальный критерий плоскостности дает условия, которые можно проверить, чтобы показать плоскостность модуля.^[1]

Заявление

Учитывая коммутативное кольцо А, идеальный я и А-модуль M, предположим либо

• А это Кольцо Нётериана и M является идеально отделенный за я: на любой идеал ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle \bigcap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0}$ (например, это тот случай, когда А нётер местное кольцо, я это максимальный идеал и M конечно порожденный),

или же

• я является нильпотентный.

Тогда следующие эквиваленты:^[2]

1. M это плоский модуль.
2. ${\displaystyle M/I}$ плоский ${\displaystyle A/I}$ и ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)=0}$.
3. Для каждого ${\displaystyle n\geq 0}$, ${\displaystyle M_{n}=M/I^{n+1}M}$ плоский ${\displaystyle A_{n}=A/I^{n+1}}$.
4. В обозначениях 3., ${\displaystyle M_{0}}$ является ${\displaystyle A_{0}}$-плоский и натуральный ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A}$-модуль сюръекция

   ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$

   изоморфизм; т.е. каждый ${\displaystyle I^{n}/I^{n+1}\otimes _{A_{0}}M_{0}\to I^{n}M/I^{n+1}M}$ является изоморфизмом.

Предположение, что «А является нётеровым кольцом »используется для вызова Лемма Артина – Риса. и может быть ослаблен; видеть (Фудзивара – Габбер – Като, Предложение 2.2.1.) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFujiwara – Gabber – Kato (помощь)

Доказательство

Следуя SGA 1, Exposé IV, мы сначала докажем несколько лемм, которые сами по себе интересны. (См. Также это Сообщение блога Ахил Мэтью для доказательства частного случая.)

Лемма 1. — Для гомоморфизма колец ${\displaystyle A\to B}$ и ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle M}$, следующие эквивалентны.

1. Для каждого ${\displaystyle B}$-модуль ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0.}$
2. ${\displaystyle M\otimes _{A}B}$ является ${\displaystyle B}$-плоский и ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(B,M)=0.}$

Более того, если ${\displaystyle B=A/I}$, указанные выше два эквивалентны

3. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)=0}$ для каждого ${\displaystyle A}$-модуль ${\displaystyle X}$ убит какой-то силой ${\displaystyle I}$.

Доказательство: Эквивалентность первых двух можно увидеть, изучив Спектральная последовательность Tor. Вот прямое доказательство: если 1. действительно и ${\displaystyle N\hookrightarrow N'}$ это инъекция ${\displaystyle B}$-модули с коядром C, тогда как А-модули,

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(C,M)=0\to N\otimes _{A}M\to N'\otimes _{A}M}$.

С ${\displaystyle N\otimes _{A}M\simeq N\otimes _{B}(B\otimes _{A}N)}$ и то же самое для ${\displaystyle N'}$, это доказывает 2. Наоборот, учитывая ${\displaystyle 0\to R\to F\to X\to 0}$ куда F является B-бесплатно получаем:

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(F,M)=0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(X,M)\to R\otimes _{A}M\to F\otimes _{A}M}$.

Здесь последнее отображение инъективно по плоскостности, и это дает нам 1. Чтобы увидеть часть «Более того», если 1. верно, то ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X/I^{n+1}X,M)=0}$ и так

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n+1}X,M)\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(I^{n}X,M)\to 0.}$

По убывающей индукции отсюда следует 3. Обратное тривиально. ${\displaystyle \square }$

Лемма 2 — Позволять ${\displaystyle A}$ быть кольцом и ${\displaystyle M}$ модуль над ним. Если ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{n},M)=0}$ для каждого ${\displaystyle n>0}$, то естественная оценка, сохраняющая оценку

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$

является изоморфизмом. Более того, когда я нильпотентен,

${\displaystyle M}$ плоский тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M_{0}}$ плоский ${\displaystyle A_{0}}$ и ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}A\otimes _{A_{0}}M_{0}\to \operatorname {gr} _{I}M}$ является изоморфизмом.

Доказательство: Предположение означает, что ${\displaystyle I^{n}\otimes M=I^{n}M}$ Итак, поскольку тензорное произведение коммутирует с расширением базы,

${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}(A)\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n})_{0}\otimes _{A_{0}}M_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}\otimes _{A}M)_{0}=\oplus _{0}^{\infty }(I^{n}M)_{0}=\operatorname {gr} _{I}M}$.

Для второй части пусть ${\displaystyle \alpha _{i}}$ обозначим точную последовательность ${\displaystyle 0\to \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)\to I^{i}\otimes M\to I^{i}M\to 0}$ и ${\displaystyle \gamma _{i}:0\to 0\to I^{i}/I^{i+1}\otimes M{\overset {\simeq }{\to }}I^{i}M/I^{i+1}M\to 0}$. Рассмотрим точную последовательность комплексов:

${\displaystyle \alpha _{i+1}\to \alpha _{i}\to \gamma _{i}.}$

потом ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I^{i},M)=0,i>0}$ (это так для больших ${\displaystyle i}$ а затем использовать убывающую индукцию). 3. леммы 1 тогда следует, что ${\displaystyle M}$ плоский. ${\displaystyle \square }$

Доказательство основного утверждения.

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: Если ${\displaystyle I}$ нильпотентна, то по лемме 1 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(-,M)=0}$ и ${\displaystyle M}$ плоский ${\displaystyle A}$. Итак, предположим, что первое предположение верно. Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset A}$ быть идеалом, и мы покажем ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes M\to M}$ инъективно. Для целого числа ${\displaystyle k>0}$, рассмотрим точную последовательность

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to A/I^{k}\to A/({\mathfrak {a}}+I^{k})\to 0.}$

С ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/({\mathfrak {a}}+I^{k}),M)=0}$ по лемме 1 (примечание ${\displaystyle I^{k}}$ убивает ${\displaystyle A/({\mathfrak {a}}+I^{k})}$), напрягая указанное выше с помощью ${\displaystyle M}$, мы получили:

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to A/I^{k}\otimes M=M/I^{k}M}$.

Тензор ${\displaystyle M}$ с ${\displaystyle 0\to I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}\to {\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\to 0}$, у нас также есть:

${\displaystyle (I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g}{\to }}{\mathfrak {a}}/(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M\to 0.}$

Мы объединяем два, чтобы получить точную последовательность:

${\displaystyle (I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M{\overset {f}{\to }}{\mathfrak {a}}\otimes M{\overset {g'}{\to }}M/I^{k}M.}$

Сейчас если ${\displaystyle x}$ находится в ядре ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\otimes M\to M}$тогда, a fortiori, ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle \operatorname {ker} (g')=\operatorname {im} (f)=(I^{k}\cap {\mathfrak {a}})\otimes M}$. Посредством Лемма Артина – Риса., данный ${\displaystyle n>0}$, мы можем найти ${\displaystyle k>0}$ такой, что ${\displaystyle I^{k}\cap {\mathfrak {a}}\subset I^{n}{\mathfrak {a}}}$. С ${\displaystyle \cap _{n\geq 1}I^{n}({\mathfrak {a}}\otimes M)=0}$, мы заключаем ${\displaystyle x=0}$.

${\displaystyle 1.\Rightarrow 4.}$ следует из леммы 2.

${\displaystyle 4.\Rightarrow 3.}$: С ${\displaystyle (A_{n})_{0}=A_{0}}$, условие 4. остается в силе с ${\displaystyle M,A}$ заменен на ${\displaystyle M_{n},A_{n}}$. Тогда лемма 2 говорит, что ${\displaystyle M_{n}}$ плоский ${\displaystyle A_{n}}$.

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$ Тензор ${\displaystyle 0\to I\to A\to A/I\to 0}$ с M, мы видим ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{A}(A/I,M)}$ это ядро ${\displaystyle I\otimes M\to M}$. Таким образом, импликация устанавливается аргументом, аналогичным аргументу ${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$${\displaystyle \square }$

Применение: характеристика этального морфизма

Локальный критерий может использоваться для доказательства следующего:

Предложение — Учитывая морфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ конечного типа между нётеровыми схемами, ${\displaystyle f}$ является эталь (плоский и неразветвленный ) тогда и только тогда, когда для каждого Икс в Икс, ж является аналитически локальным изоморфизмом около Икс; т.е. с ${\displaystyle y=f(x)}$, ${\displaystyle {\widehat {f_{x}^{*}}}:{\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}}$ является изоморфизмом.

Доказательство: Предположить, что ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{y,Y}}}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x,X}}}}$ является изоморфизмом, и мы показываем ж эталь. Во-первых, поскольку ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\to {\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}}$ строго плоский (в частности, чистое подкольцо), мы имеем:

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{y}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{y}}}{\widehat {{\mathcal {O}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\widehat {{\mathfrak {m}}_{x}}}\cap {\mathcal {O}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}}$.

Следовательно, ${\displaystyle f}$ неразветвлен (отделимость тривиальна). Теперь, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ Плоскость следует из (1) предположения, что индуцированное отображение при пополнении является плоским, и (2) того факта, что плоскостность уменьшается при строго плоской замене основания (нетрудно понять (2)).

Далее покажем обратное: по локальному критерию для каждого п, естественная карта ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{y}^{n}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n+1}\to {\mathfrak {m}}_{x}^{n}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n+1}}$является изоморфизмом. По индукции и лемме о пяти отсюда следует ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{y}/{\mathfrak {m}}_{y}^{n}\to {\mathcal {O}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{n}}$ является изоморфизмом для каждого п. Переходя к пределу, получаем заявленный изоморфизм. ${\displaystyle \square }$

Красная книга Мамфорда дает внешнее доказательство указанного выше факта (гл. III, § 5, теорема 3).

Теорема о чудо-плоскостности

Б. Конрад называет следующую теорему теорема о чудо-плоскостности.^[3]

Теорема — Позволять ${\displaystyle R\to S}$ быть локальный гомоморфизм колец между местными нётерскими кольцами. Если S плоский р, тогда

${\displaystyle \dim S=\dim R+\dim S/{\mathfrak {m}}_{R}S}$.

Наоборот, если это равенство размерности выполнено, если р регулярно, и если S Коэна – Маколея (например, регулярный), то S плоский р.

Примечания

1. Мацумура, Гл. 8, § 22. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
2. Мацумура, Теорема 22.3. ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFMatsumura (помощь)
3. Проблема 10 в http://math.stanford.edu/~conrad/papers/gpschemehw1.pdf

Рекомендации

• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, 8 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-36764-6, МИСТЕР  1011461
• Exposé IV из Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2003) [1971], Обновления étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Париж) [Математические документы (Париж)], 3, Париж: Société Mathématique de France, arXiv:математика / 0206203, Bibcode:2002математика ...... 6203G, ISBN  978-2-85629-141-2, МИСТЕР  2017446
• Fujiwara, K .; Gabber, O .; Като Ф .: «О хаусдорфовых пополнениях коммутативных колец в жесткой геометрии». Журнал алгебры, 322 (2011), 293-321.

внешняя ссылка

• Сообщение блога от Ахил Мэтью