Локальные когомологии - Local cohomology

В алгебраическая геометрия, локальные когомологии это аналог относительные когомологии. Александр Гротендик представил его на семинарах в Гарварде в 1961 году. Хартсхорн (1967), а в 1961-1929 гг. в ИГЭС записано как SGA2 - Гротендик (1968), переиздан как Гротендик (2005).

Определение

В геометрической форме теории разделы ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ считаются пучок ${\displaystyle F}$ из абелевы группы, на топологическое пространство ${\displaystyle X}$, с поддерживать в закрытое подмножество ${\displaystyle Y}$, The производные функторы из ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ форма группы локальных когомологий

${\displaystyle H_{Y}^{i}(X,F)}$

Для приложений в коммутативная алгебра, космос Икс это спектр Спецификация (р) коммутативного кольца р (должно быть Нётерян всюду по этой статье) и связка F это квазикогерентный пучок связан с р-модуль M, обозначаемый ${\displaystyle {\tilde {M}}}$. В закрытая подсхема Y определяется идеальный я. В этой ситуации функтор Γ_Y(F) соответствует аннигилятор

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\bigcup _{n\geq 0}(0:_{M}I^{n}),}$

т.е. элементы M которые уничтожаются некоторой силой я. Эквивалентно,

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),}$

что также показывает, что локальные когомологии квазикогерентных пучков согласуются с

${\displaystyle H_{I}^{i}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/I^{n},M).}$

Использование комплексов Кошуля

Для идеального ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$, локальные группы когомологий могут быть вычислены с помощью копредела Кошульские комплексы:

${\displaystyle H_{I}^{i}(M)=\varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\dots ,f_{n}^{m}\right),M\right)\right),}$

Поскольку комплексы Кошуля обладают свойством умножения на ${\displaystyle f_{i}}$ как цепной комплексный морфизм ${\displaystyle \cdot f_{i}:K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})\to K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})}$гомотопен нулю^[1], смысл ${\displaystyle H^{i}(K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n}))}$ уничтожается ${\displaystyle f_{i}}$, ненулевое отображение в копределе гом-множеств содержит отображения из всех комплексов Кошуля, кроме конечного, и которые не аннулируются каким-либо элементом в идеале.

Также этот копредел комплексов Кошуля может быть вычислен^[2] быть комплексом Чеха

${\displaystyle R\to \prod _{i_{0}}R_{f_{i}}\to \prod _{i_{0}<i_{1}}R_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to R_{f_{1}\cdots f_{n}}}$

Основные свойства

Существует длинная точная последовательность из когомологии пучков связывая обычные пучковые когомологии Икс и из открытый набор U = Икс \Y, с локальными группами когомологий.

В частности, это приводит к точной последовательности

${\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(M)\to M{\stackrel {\text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tilde {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,}$

куда U является открытым дополнением Y а средняя карта - это ограничение разделов. Цель этой карты ограничений также называется идеальное преобразование. За п ≥ 1, существуют изоморфизмы

${\displaystyle H^{n}(U,{\tilde {M}}){\stackrel {\cong }{\to }}H_{I}^{n+1}(M).}$

Важным частным случаем является тот, когда р является оцененный, я состоит из элементов степени ≥ 1, а M является градуированным модулем.^[3] В этом случае когомологии U выше можно отождествить с группами когомологий

${\displaystyle \bigoplus _{k\in \mathbf {Z} }H^{n}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(k))}$

из проективная схема связано с р и (k) обозначает Серр твист. Это связывает локальные когомологии с глобальными когомологиями на проективных схемах. Например, Регулярность Кастельнуово – Мамфорда. можно сформулировать с помощью локальных когомологий.^[4]

Отношение к инвариантам модулей

Размер тусклый_р(M) модуля (определяемого как Измерение Крулля его носителя) дает оценку сверху для локальных групп когомологий:^[5]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)=0{\text{ for all }}n>\dim _{R}(M).}$

Если р является местный и M конечно порожденный, то эта оценка точна, т. е. ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0}$.

В глубина (определяется как максимальная длина обычный M-последовательность; также называется степенью M) обеспечивает точную нижнюю границу, т.е.является наименьшим целым числом п такой, что^[6]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)\neq 0.}$

Эти две оценки вместе дают характеристику Модули Коэна – Маколея над локальными кольцами: это как раз те модули, в которых ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)}$ исчезает для всех, кроме одного п.

Локальная двойственность

В локальная теорема двойственности местный аналог Двойственность Серра. Для полного Коэн-Маколей местное кольцо р, он утверждает, что естественное спаривание

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\times \operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega )\to H_{\mathfrak {m}}^{d}(R)}$

это идеальное сочетание, куда ω дуализирующий модуль для р.^[7]

Приложения

Первоначальные приложения были к аналогам Теоремы Лефшеца о гиперплоскостях. В общем, такие теоремы утверждают, что гомологии или когомологии поддерживаются на сечение гиперплоскости из алгебраическое многообразие, за исключением некоторой «потери», которую можно контролировать. Эти результаты применимы к алгебраическая фундаментальная группа и к Группа Пикард.

Другой тип приложений - теоремы связности, такие как Теорема Гротендика о связности (местный аналог Теорема Бертини ) или Теорема Фултона – Хансена о связности из-за Фултон и Хансен (1979) и Фальтингс (1979). Последний утверждает, что для двух проективные многообразия V и W в п^р над алгебраически замкнутое поле, то измерение связности из Z = V ∩ W (т.е. минимальная размерность замкнутого подмножества Т из Z это должно быть удалено из Z таким образом дополнять Z \ Т является отключен ) связана

c (Z) ≥ тусклый V + тусклый W − р − 1.

Например, Z подключен, если тусклый V + тусклый W > р.^[8]

Смотрите также

• Локальная гомология - дает топологический аналог и вычисление локальных гомологий конуса пространства

Примечания

1. «Лемма 15.28.6 (0663) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.
2. «Лемма 15.28.13 (0913) - Проект Stacks». stacks.math.columbia.edu. Получено 2020-05-01.
3. Эйзенбуд (1995 г., §A.4) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFEisenbud1995 (помощь)
4. Бродман и Шарп (1998), §16)
5. Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.1.2)
6. Хартсхорн (1967, Теорема 3.8), Бродман и Шарп (1998), Теорема 6.2.7), M конечно порожден, Я ≠ M
7. Хартсхорн (1967, Теорема 6.7).
8. Бродман и Шарп (1998), §19.6)

Вводный справочник

• Хунеке, Крейг; Тейлор, Амелия, Лекции по локальным когомологиям

Рекомендации

• Brodman, M. P .; Sharp, R. Y. (1998), Локальные когомологии: алгебраическое введение с геометрическими приложениями (2-е изд.), Cambridge University Press Рецензия на книгу Хартсхорна
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 150. Нью-Йорк: Springer-Verlag. xvi + 785. ISBN  0-387-94268-8. МИСТЕР  1322960.
• Фальтингс, Герд (1979), "Алгебраизация некоторых формальных векторных расслоений", Анна. математики., 2, 110 (3): 501–514, Дои:10.2307/1971235, МИСТЕР  0554381
• Fulton, W .; Хансен, Дж. (1979), "Теорема связности для проективных многообразий с приложениями к пересечениям и особенностям отображений", Анналы математики, Анналы математики, 110 (1): 159–166, Дои:10.2307/1971249, JSTOR  1971249
• Гротендик, Александр (2005) [1968], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2), Documents Mathématiques (Париж), 4, Париж: Société Mathématique de France, arXiv:математика / 0511279, Bibcode:2005математика ..... 11279G, ISBN  978-2-85629-169-6, МИСТЕР  2171939
• Гротендик, Александр (1968) [1962]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) (Advanced Studies in Pure Mathematics). 2) (На французском). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. vii + 287.
• Хартсхорн, Робин (1967) [1961], Локальные когомологии. Семинар А. Гротендика, Гарвардский университет, осень, 1961 г., Конспект лекций по математике, 41, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0073971, МИСТЕР  0224620
• Iyengar, Srikanth B .; Leuschke, Graham J .; Лейкин, Антон; Миллер, Клаудиа; Миллер, Эзра; Сингх, Анураг К .; Вальтер, Ули (2007), Двадцать четыре часа локальной когомологии, Аспирантура по математике, 87, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, Дои:10,1090 / г / м2 / 087, ISBN  978-0-8218-4126-6, МИСТЕР  2355715