Инъективный корпус - Injective hull

Эта статья посвящена инъективной оболочке модуля в алгебре. Для инъективных оболочек метрических пространств, также называемых узкими промежутками, инъективными оболочками или гипервыпуклыми оболочками, см. тесный промежуток.

В математика, особенно в алгебра, то инъективная оболочка (или конверт для инъекций) из модуль оба самые маленькие инъективный модуль содержащий его и самый большой существенное расширение этого. Впервые инъективные оболочки были описаны в (Экманн и Шопф, 1953 г. ).

Определение

А модуль E называется инъективная оболочка модуля M, если E является существенное расширение из M, и E является инъективный. Здесь базовое кольцо - это кольцо с единицей, хотя, возможно, и некоммутативное.

Примеры

• Инъективный модуль - это его собственная инъективная оболочка.
• Инъективная оболочка область целостности это его поле дробей, (Лам 1999, Пример 3.35)
• Инъективная оболочка циклического п-группа (как Z-модуль) является Prüfer group, (Лам 1999, Пример 3.36)
• Инъективная оболочка р/ рад (р) является Hom_k(р,k), где р является конечномерным k-алгебра с участием Радикал Якобсона рад (р), (Лам 1999, Пример 3.41).
• А простой модуль обязательно цоколь его инъективной оболочки.
• Инъективная оболочка частного поля кольцо дискретной оценки ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$ где ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=x\cdot R}$ является ${\displaystyle R_{x}/R}$.^[1]
• В частности, инъективная оболочка ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в ${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$ модуль ${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$.

Свойства

• Инъективная оболочка M единственно с точностью до изоморфизмов, тождественных на M, однако изоморфизм не обязательно уникален. Это связано с тем, что свойство расширения карты инъективной оболочки не является полноценным универсальная собственность. Благодаря этой уникальности корпус можно обозначить как E(M).
• Инъективная оболочка E(M) является максимальным существенное расширение из M в том смысле, что если M⊆E(M) ⊊B для модуля B, тогда M не является существенным подмодулем B.
• Инъективная оболочка E(M) - минимальный инъективный модуль, содержащий M в том смысле, что если M⊆B для инъективного модуля B, тогда E(M) является (изоморфным) подмодулем B.
• Если N является существенным подмодулем M, тогда E(N)=E(M).
• Каждый модуль M имеет инъективную оболочку. Построение инъективной оболочки в терминах гомоморфизмов Hom (я, M), где я проходит через идеалы р, дан кем-то Флейшер (1968).
• Двойственное понятие проективное покрытие делает не всегда существует для модуля, однако плоская крышка существует для каждого модуля.

Структура кольца

В некоторых случаях для р Подкольцо самоинъективного кольца S, инъективная оболочка р также будет иметь кольцевую структуру.^[2] Например, взяв S быть полным матричное кольцо над полем и взяв р быть любым кольцом, содержащим каждую матрицу, которая равна нулю во всех столбцах, кроме последнего, инъективная оболочка правой р-модуль р является S. Например, можно взять р быть кольцом всех верхнетреугольных матриц. Однако не всегда инъективная оболочка кольца имеет кольцевую структуру, например, в (Ософский 1964 ) показывает.

Большой класс колец, которые действительно имеют кольцевую структуру на их инъективных оболочках, - это неособые кольца.^[3] В частности, для область целостности инъективной оболочкой кольца (рассматриваемого как модуль над собой) является поле дробей. Инъективные оболочки неособых колец дают аналог кольца частных для некоммутативных колец, где отсутствие Состояние руды может препятствовать формированию классическое кольцо частных. Этот тип «кольца частных» (так называются эти более общие «поля дробей») был впервые введен в (Утуми 1956 ), а связь с инъективными оболочками была признана в (Ламбек 1963 ).

Единая размерность и инъективные модули

An р модуль M имеет конечный единый размер (=конечный ранг) п тогда и только тогда, когда инъективная оболочка M конечная прямая сумма п неразложимые подмодули.

Обобщение

В общем, пусть C быть абелева категория. An объект E является инъективная оболочка объекта M если M → E является важным расширением и E является инъективный объект.

Если C является местно маленький, удовлетворяет Аксиома Гротендика AB5 и имеет достаточно инъекций, то каждый объект в C имеет инъективную оболочку (этим трем условиям удовлетворяет категория модулей над кольцом).^[4] Каждый объект в Категория Гротендика имеет инъективную оболочку.

Смотрите также

• Плоская крышка, двойственная концепция инъективных оболочек.
• Рациональный корпус: Это аналог инъективной оболочки при рассмотрении максимального рациональное расширение.

Заметки

1. Вальтер, Ури. «Инъективные модули» (PDF). п. 11.
2. Лам 1999, п. 78–80.
3. Лам 1999, п. 366.
4. Раздел III.2 (Митчелл 1965 )

использованная литература

• Eckmann, B .; Шопф, А. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik, 4 (2): 75–78, Дои:10.1007 / BF01899665, ISSN  0003-9268, Г-Н  0055978
• Флейшер, Исидор (1968), "Новая конструкция инъективного корпуса", Канад. Математика. Бык., 11: 19–21, Дои:10.4153 / CMB-1968-002-3, Г-Н  0229680
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам, Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN  978-0-387-98428-5, Г-Н  1653294
• Ламбек, Иоахим (1963), "О кольце частных Утуми", Канадский математический журнал, 15: 363–370, Дои:10.4153 / CJM-1963-041-4, ISSN  0008-414X, Г-Н  0147509
• Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нётеровыми кольцами», Тихоокеанский математический журнал, 8: 511–528, Дои:10.2140 / pjm.1958.8.511, ISSN  0030-8730, Г-Н  0099360^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Мацумура, Х. Коммутативная теория колец, Кембриджские исследования по высшей математике, том 8.
• Митчелл, Барри (1965). Теория категорий. Чистая и прикладная математика. 17. Академическая пресса. ISBN  978-0-124-99250-4. Г-Н  0202787.
• Ософски, Б.Л. (1964), «О кольцевых свойствах инъективных оболочек», Канадский математический бюллетень, 7: 405–413, Дои:10.4153 / CMB-1964-039-3, ISSN  0008-4395, Г-Н  0166227
• Утуми, Юзо (1956), "О частных кольцах", Осакский математический журнал, 8: 1–18, ISSN  0030-6126, Г-Н  0078966

внешние ссылки

• инъективная оболочка (Статья PlanetMath)
• Страница PlanetMath о модулях конечного ранга