Несборный модуль - Indecomposable module - Wikipedia

В абстрактная алгебра, а модуль является неразложимый если он не равен нулю и не может быть записан как прямая сумма двух ненулевых подмодули.^[1]

Неразложимость - более слабое понятие, чем простой модуль (который также иногда называют несводимый модуль): простой означает "нет подходящего подмодуля" ${ Displaystyle N$ , в то время как неразложимый "не выражается как ${ Displaystyle N oplus P = M}$ ".

Прямая сумма неразложимых называется полностью разложимый;^{[нужна цитата ]} это слабее, чем быть полупростой, который представляет собой прямую сумму простые модули.

Разложение модуля на неразложимые модули в прямую сумму называется неразложимое разложение.

Мотивация

Во многих ситуациях все интересующие модули полностью разложимы; тогда неразложимые модули можно рассматривать как «основные строительные блоки», единственные объекты, которые необходимо изучать. Это так для модулей надполе или же PID, и лежит в основе Нормальная форма Джордана из операторы.

Примеры

Поле

Модули более поля находятся векторные пространства. Векторное пространство неразложимо тогда и только тогда, когда его измерение равно 1. Таким образом, каждое векторное пространство полностью разложимо (на самом деле полупросто) с бесконечным числом слагаемых, если размерность бесконечна.^[2]

PID

Конечно-порожденные модули над области главных идеалов (PID) классифицируются поструктурная теорема для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов: первичная декомпозиция - это декомпозиция на неразложимые модули, поэтому каждый конечно-порожденный модуль над PID полностью разложим.

В явном виде модули формы ${ displaystyle R / p ^ {n}}$ за главные идеалы п (включая п = 0, что дает р) неразложимы. Каждый конечно порожденный р-модуль является их прямой суммой. Обратите внимание, что это просто тогда и только тогда, когда п = 1 (или же п = 0); например, циклическая группа порядка 4, Z/ 4, неразложима, но не проста - в ней есть подгруппа 2Z/ 4 порядка 2, но у него нет дополнения.

Над целые числа Z, модули абелевы группы. Конечно порожденная абелева группа неразложима тогда и только тогда, когда она изоморфный к Z или к факторная группа формы ${ displaystyle mathbf {Z} / p ^ {n} mathbf {Z}}$ для некоторых простое число п и некоторое положительное целое число п. Каждый конечно порожденная абелева группа является прямой суммой (конечного числа) неразложимых абелевых групп.

Однако существуют и другие неразложимые абелевы группы, которые не являются конечно порожденными; примерами являются рациональное число Q и Прюфер п-группы Z(п^∞) для любого простого числа п.

Для фиксированного положительного целого числа пРассмотрим кольцо р из п-к-п матрицы с записями из действительные числа (или из любого другого поля K). потом K^п левый р-модуль (скалярное умножение матричное умножение ). Это с точностью до изоморфизма единственный неразложимый модуль над р. Каждый левый р-модуль - это прямая сумма (конечного или бесконечного числа) копий этого модуля K^п.

Факты

Каждый простой модуль неразложима. Обратное в общем случае неверно, как показывает второй пример выше.

Глядя на кольцо эндоморфизмов модуля можно сказать, является ли модуль неразложимым: тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов не содержит идемпотентный элемент отличается от 0 и 1.^[1] (Если ж такой идемпотентный эндоморфизм из M, тогда M прямая сумма ker (ж) и я(ж).)

Модуль конечных длина неразложимо тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов местный. Еще больше информации об эндоморфизмах неразложимых элементов конечной длины дает Лемма Фиттинга.

В ситуации конечной длины разложение на неразложимые элементы особенно полезно из-за Теорема Крулля-Шмидта: каждый модуль конечной длины может быть записан как прямая сумма конечного числа неразложимых модулей, и это разложение по существу уникально (это означает, что если у вас есть другое разложение на неразложимые, то слагаемые первого разложения можно объединить в пары с слагаемые второго разложения, так что члены каждой пары изоморфны).^[3]

Примечания

^ ^а ^б Якобсон (2009), стр. 111.
^ Якобсон (2009), стр. 111, в комментариях после предложения 3.1.
^ Якобсон (2009), стр. 115.