Лемма Фиттинга - Fitting lemma - Wikipedia

В Лемма Фиттинга, названный в честь математика Ганс Фиттинг, является основным утверждением в абстрактная алгебра. Предполагать M это модуль над некоторыми звенеть. Если M является неразложимый и имеет конечный длина, то каждые эндоморфизм из M является либо автоморфизм или же нильпотентный.[1]

Как непосредственное следствие, мы видим, что кольцо эндоморфизмов каждого неразложимого модуля конечной длины равно местный.

Вариант леммы Фиттинга часто используется в теория представлений групп. Фактически, это частный случай версии выше, поскольку каждый K-линейное представление группы грамм можно рассматривать как модуль над групповая алгебра КГ.

Доказательство

Для доказательства леммы Фиттинга возьмем эндоморфизм ж из M и рассмотрим следующие две последовательности подмодулей:

  • Первая последовательность - это убывающая последовательность im (ж), я(ж 2), я(ж 3),…,
  • вторая последовательность - возрастающая последовательность ker (ж), кер (ж 2), кер (ж 3),…

Потому что M имеет конечную длину, первая последовательность не может быть строго убывает навсегда, поэтому есть некоторые п с им (ж п) = im (ж п+1). Аналогично (как M имеет конечную длину) вторая последовательность не может быть строго увеличивается вечно, поэтому есть некоторые м с кер (ж м) = ker (ж м+1). Легко видеть, что im (ж п) = im (ж п+1) дает im (ж п) = im (ж п+1) = im (ж п+2) =…, И что ker (ж м) = ker (ж м+1) дает ker (ж м) = ker (ж м+1) = ker (ж м+2знак равно Положив k = макс (м,п), теперь следует im (ж k) = im (ж 2k) и ker (ж k) = ker (ж 2k). Следовательно, (потому что каждый удовлетворяет для некоторых но также , так что , следовательно и поэтому ) и (поскольку для каждого , есть некоторые такой, что (поскольку ), и поэтому , так что и поэтому ). Как следствие, M это прямая сумма им (ж k) и ker (ж k). Потому что M неразложима, одно из этих двух слагаемых должно быть равно M, а другой должен быть равен {0}. В зависимости от того, какое из двух слагаемых равно нулю, мы находим, что ж биективен или нильпотентен.[2]

Примечания

  1. ^ Якобсон, Лемма перед теоремой 3.7.
  2. ^ Якобсон (2009), стр. 113–114.

Рекомендации

  • Джейкобсон, Натан (2009), Базовая алгебра, 2 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47187-7