Проективное покрытие - Projective cover

В разделе абстрактной математики под названием теория категорий, а проективное покрытие объекта Икс в некотором смысле наилучшее приближение Икс по проективный объект п. Проективные покрытия - это двойной из конверты для инъекций.

Определение

Позволять ${displaystyle {mathcal {C}}}$ быть категория и Икс объект в ${displaystyle {mathcal {C}}}$. А проективное покрытие пара (п,п), с п а проективный объект в ${displaystyle {mathcal {C}}}$ и п лишний эпиморфизм в Hom (п, Икс).

Если р кольцо, то в категории р-модули, a избыточный эпиморфизм тогда эпиморфизм ${displaystyle p:P o X}$ так что ядро из п это лишний подмодуль из п.

Характеристики

Проективные накрытия и их лишние эпиморфизмы, если они существуют, единственны с точностью до изоморфизм. Однако изоморфизм не обязательно должен быть уникальным, поскольку проективное свойство не является полноценным. универсальная собственность.

Главный эффект от п наличие лишнего ядра: если N любой собственный подмодуль п, тогда ${displaystyle p(N)eq M}$.^[1] Неформально говоря, это показывает, что лишнее ядро ​​вызывает п покрывать M оптимально, то есть без подмодуля п хватит. Это не зависит от проективности п: верно для всех лишних эпиморфизмов.

Если (п,п) является проективным покрытием M, и П' - еще один проективный модуль с эпиморфизмом ${displaystyle p':P'ightarrow M}$, то есть расщепленный эпиморфизм α из П' к п такой, что ${displaystyle palpha =p'}$

В отличие от конверты для инъекций и плоские крышки, которые существуют для каждого левого (правого) р-модуль независимо от звенеть р, лево право) р-модули вообще не имеют проективных покрытий. Кольцо р называется левым (правым) идеально если каждый левый (правый) р-модуль имеет проективное покрытие в р-Мод (Mod-р).

Кольцо называется полусовершенный если каждый конечно порожденный лево право) р-модуль имеет проективное покрытие в р-Мод (Mod-р). «Полусовершенство» - это свойство симметрии слева и справа.

Кольцо называется лифт / рад если идемпотенты лифт из р/J к р, куда J это Радикал Якобсона из р. Свойство быть лифтом / радом можно охарактеризовать в терминах проективных покрытий: р является лифтом / радом тогда и только тогда, когда прямые слагаемые р модуль р/J (как правый или левый модуль) имеют проективные покрытия.^[2]

Примеры

В категории р модули:

• Если M уже является проективным модулем, то тождественное отображение из M к M является лишним эпиморфизмом (его ядро ​​равно нулю). Следовательно, проективные модули всегда имеют проективные покрытия.
• Если J (р) = 0, то модуль M имеет проективное покрытие тогда и только тогда, когда M уже проективен.
• В случае, если модуль M является просто, то обязательно верх его проективного покрытия, если оно существует.
• Инъективная оболочка для модуля существует всегда, однако над некоторыми кольцами модули могут не иметь проективных покрытий. Например, естественная карта из Z на Z/2Z не является проективным покрытием Z-модуль Z/2Z (который на самом деле не имеет проективного покрытия). Класс колец, наделяющий все свои правые модули проективными покрытиями, - это класс правых идеальные кольца.
• Любой р-модуль M имеет плоская крышка, которое равно проективному покрытию, если р имеет проективное покрытие.

Смотрите также

• Проективное разрешение

Рекомендации

1. Доказательство: Пусть N быть правильным в п и предположим п(N)=M. Поскольку ker (п) лишнее, ker (п)+N≠п. выбирать Икс в п вне кер (п)+N. По сюръективности п, Существует Икс' в N такой, что п(Икс' )=п(Икс ) ,, откуда Икс−Икс' находится в кере (п). Но потом Икс находится в кере (п)+N, противоречие.
2. Андерсон и Фуллер 1992, п. 302. Ошибка sfn: нет цели: CITEREFAndersonFuller1992 (помощь)

• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992). Кольца и категории модулей. Springer. ISBN  0-387-97845-3. Получено 2007-03-27.
• Вера, Карл (1976), Алгебра. II. Теория колец., Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, № 191. Springer-Verlag
• Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец (2-е изд.), Тексты для выпускников по математике, 131. Springer-Verlag, ISBN  0-387-95183-0