Плоская крышка - Flat cover

В алгебре плоская крышка модуля M над кольцом является сюръективным гомоморфизмом из плоский модуль F к M это в некотором смысле минимально. Любой модуль над кольцом имеет плоское покрытие, единственное с точностью до (неединственного) изоморфизма. Плоские крышки в некотором смысле двойственны инъективные оболочки, и связаны с проективные покрытия и крышки без кручения.

Определения

Гомоморфизм F→M определяется как плоское покрытие M если это сюръективно, F плоский, любой гомоморфизм из плоского модуля в M факторы через F, и любую карту из F к F добираться с картой до M является автоморфизмом F.

История

Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие. Этот гипотеза о плоской крышке впервые было явно указано в (Енох 1981, стр 196). Гипотеза оказалась верной, положительно разрешенной и одновременно доказанной Бикан, Эль-Башир и Енохс (2001). Этому предшествовали важные работы П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй.

Минимальные плоские разрешения

Любой модуль M над кольцом имеет разрешение плоскими модулями

→ F2 → F1 → F0 → M → 0

так что каждый Fп+1 плоская крышка ядра Fп → Fп−1. Такое разрешение единственно с точностью до изоморфизма и является минимальным плоским разрешением в том смысле, что любое плоское разрешение M факторы через это. Любой гомоморфизм модулей продолжается до гомоморфизма между соответствующими плоскими резольвентами, хотя это расширение, вообще говоря, не единственно.

Рекомендации

  • Енохс, Эдгар Э. (1981), «Инъективные и плоские крышки, конверты и резольвенты», Israel J. Math., 39 (3): 189–209, Дои:10.1007 / BF02760849, ISSN  0021-2172, МИСТЕР  0636889
  • Bican, L .; Эль Башир, Р .; Энохс, Э. (2001), «Все модули имеют плоские крышки», Бык. Лондонская математика. Soc., 33 (4): 385–390, Дои:10.1017 / S0024609301008104, ISSN  0024-6093, МИСТЕР  1832549
  • «Плоская крышка», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
  • Сюй, Цзиньчжун (1996), Плоские крышки модулей, Конспект лекций по математике, 1634, Берлин: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0094173, ISBN  3-540-61640-3, МИСТЕР  1438789