Инъективный объект - Injective object

В математика, особенно в области теория категорий, Концепция чего-либо инъективный объект является обобщением концепции инъективный модуль. Эта концепция важна в когомология, в теория гомотопии и в теории категории моделей. Двойственное понятие - это понятие проективный объект.

Определение

Объект Q инъективно, если по мономорфизму ж : Икс → Y, Любые грамм : Икс → Q может быть расширен до Y.

An объект ${\displaystyle Q}$ в категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ как говорят инъективный если для каждого мономорфизм ${\displaystyle f:X\to Y}$ и каждый морфизм ${\displaystyle g:X\to Q}$ существует морфизм ${\displaystyle h:Y\to Q}$ расширение ${\displaystyle g}$ к ${\displaystyle Y}$, т.е. такие, что ${\displaystyle h\circ f=g}$.

Морфизм ${\displaystyle h}$ в приведенном выше определении не требуется однозначно определять ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$.

В местно маленький категории, это эквивалентно требованию, чтобы хом функтор ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$ несет мономорфизмы в ${\displaystyle \mathbf {C} }$ к сюръективный набор карт.

В абелевых категориях

Понятие инъективности было впервые сформулировано для абелевы категории, и это по-прежнему одна из основных областей ее применения. Когда ${\displaystyle \mathbf {C} }$ абелева категория, объект Q из ${\displaystyle \mathbf {C} }$ инъективен если и только если его хом функтор Hom_C(–,Q) является точный.

Если ${\displaystyle 0\to Q\to U\to V\to 0}$ является точная последовательность в ${\displaystyle \mathbf {C} }$ такой, что Q инъективно, то последовательность разбиения.

Достаточно инъективных и инъективных оболочек

Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ говорят иметь достаточно инъекций если для каждого объекта Икс из ${\displaystyle \mathbf {C} }$, существует мономорфизм из Икс к инъективному объекту.

Мономорфизм грамм в ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется существенный мономорфизм если по любому морфизму ж, составной фг является мономорфизмом, только если ж является мономорфизмом.

Если грамм является существенным мономорфизмом с областью определения Икс и инъективный кодомен грамм, тогда грамм называется инъективная оболочка из Икс. Тогда инъективная оболочка однозначно определяется равенством Икс вплоть до неканонический изоморфизм.

Примеры

• В категории абелевы группы и групповые гомоморфизмы, Ab, инъективный объект обязательно является делимая группа. Принимая аксиому выбора, понятия эквивалентны.
• В категории (слева) модули и модульные гомоморфизмы, р-Мод, инъективный объект - это инъективный модуль. р-Мод имеет инъективные оболочки (как следствие, р-Мод хватает инъекций).
• в категория метрических пространств, Встретились, инъективный объект - это инъективное метрическое пространство, а инъективная оболочка метрического пространства - это его тесный промежуток.
• В категории Т₀ пробелы и непрерывные отображения, инъективный объект всегда Топология Скотта на непрерывная решетка, и поэтому всегда трезвый и локально компактный.

Использует

Если в абелевой категории достаточно инъективных, мы можем сформировать инъективные разрешения, т.е. для данного объекта Икс мы можем сформировать длинную точную последовательность

${\displaystyle 0\to X\to Q^{0}\to Q^{1}\to Q^{2}\to \cdots }$

и затем можно определить производные функторы данного функтора F применяя F к этой последовательности и вычисление гомологии полученной (не обязательно точной) последовательности. Этот подход используется для определения Ext, и Tor функторы, а также различные когомология теории в теория групп, алгебраическая топология и алгебраическая геометрия. Используемые категории обычно категории функторов или категории снопы О_Икс модули над некоторыми окольцованное пространство (Икс, О_Икс) или, в более общем смысле, любой Категория Гротендика.

Обобщение

Объект Q является ЧАС-инъективный, если, учитывая час : А → B в ЧАС, Любые ж : А → Q факторы через час.

Позволять ${\displaystyle \mathbf {C} }$ быть категорией и пусть ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ быть класс морфизмов ${\displaystyle \mathbf {C} }$.

Объект ${\displaystyle Q}$ из ${\displaystyle \mathbf {C} }$ как говорят ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективный если для каждого морфизма ${\displaystyle f:A\to Q}$ и каждый морфизм ${\displaystyle h:A\to B}$ в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ существует морфизм ${\displaystyle g:B\to Q}$ с ${\displaystyle g\circ h=f}$.

Если ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ это класс мономорфизмы, мы возвращаемся к инъективным объектам, о которых говорилось выше.

Категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ говорят достаточно ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективы если для каждого объекта Икс из ${\displaystyle \mathbf {C} }$, существует ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-морфизм из Икс чтобы ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективный объект.

А ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-морфизм грамм в ${\displaystyle \mathbf {C} }$ называется ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-существенный если по любому морфизму ж, составной фг в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ только если ж в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Если грамм это ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-существенный морфизм с доменом Икс и ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективный кодомен грамм, тогда грамм называется ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективный корпус из Икс.

Примеры ЧАС-инъективные объекты

• В категории симплициальные множества, инъективные объекты по отношению к классу ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ анодных удлинителей Кан комплексы.
• В категории частично упорядоченные наборы и монотонные карты, то полные решетки формируют инъективные объекты для класса ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ из порядковые вложения, а Завершение Дедекинда – МакНила частично упорядоченного множества - это его ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-инъективный корпус.

Смотрите также

• Проективный объект

Примечания

Рекомендации

• Дж. Росицки, Инъективность и доступные категории
• Ф. Кальяри и С. Монтовани, Т.₀-отражающие и инъективные оболочки расслоенных пространств