Генераторная установка модуля - Generating set of a module

В алгебра, а генераторная установка г из модуль M через кольцо р это подмножество M такой, что наименьший подмодуль M содержащий г является M сам (наименьший подмодуль, содержащий подмножество, является пересечением всех подмодулей, содержащих набор). Набор г тогда говорят, что он генерирует M. Например, кольцо р порождается единичным элементом 1 как левый р-модуль над собой. Если существует конечное порождающее множество, то модуль называется конечно порожденный.

Явно, если г является порождающим набором модуля M, то каждый элемент M является (конечным) р-линейное сочетание некоторых элементов г; т.е. для каждого Икс в M, есть р₁, ..., р_м в р и г₁, ..., г_м в г такой, что

${\displaystyle x=r_{1}g_{1}+\cdots +r_{m}g_{m}.}$

Другими словами, есть сюрприз

${\displaystyle \bigoplus _{g\in G}R\to M,\,r_{g}\mapsto r_{g}g,}$

где мы написали р_г для элемента в г-й компонент прямой суммы. (По совпадению, поскольку генераторная установка существует всегда; например, M само по себе это показывает, что модуль является частным от свободного модуля, что является полезным фактом.)

Порождающий набор модуля называется минимальный если никакое подходящее подмножество набора не генерирует модуль. Если р это поле, то минимальный порождающий набор - это то же самое, что основа. Если модуль не конечно порожденный, минимального порождающего множества может не быть.^[1]

Мощность минимального порождающего множества не обязательно должна быть инвариантом модуля; Z порождается как главный идеал единицей 1, но также порождается, скажем, минимальным порождающим множеством { 2, 3 }. Что однозначно определяется модулем, так это инфимум номеров генераторов модуля.

Позволять р - локальное кольцо с максимальным идеалом м и поле вычетов k и M конечно порожденный модуль. потом Лемма Накаямы Говорит, что M имеет минимальное порождающее множество, мощность которого ${\displaystyle \dim _{k}M/mM=\dim _{k}M\otimes _{R}k}$. Если M плоский, то это минимальное порождающее множество линейно независимый (так M бесплатно). Смотрите также: минимальное разрешение.

Более точная информация получается, если рассматривать отношения между генераторами; ср. бесплатная презентация модуля.

Смотрите также

• Счетно генерируемый модуль
• Плоский модуль
• Инвариантный базисный номер

использованная литература

1. "ac.commutative algebra - Существование минимального порождающего множества модуля - MathOverflow". mathoverflow.net.

• Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра.