Инвариантный базисный номер - Invariant basis number

В математика, а точнее в области теория колец, а звенеть имеет инвариантный базисный номер (IBN) свойство, если все конечно порожденные свободный оставили модули над р имеют четко определенный ранг. На случай, если поля, свойство IBN превращается в утверждение, что конечномерные векторные пространства иметь уникальный измерение.

Определение

А звенеть р имеет инвариантный базисный номер (IBN), если для всех натуральных чисел м и п, р^м изоморфный к р^п (как осталось р-модули) означает, что м = п.

Эквивалентно это означает, что не существует различных положительных целых чисел. м и п такой, что р^м изоморфен р^п.

Перефразируя определение инвариантного базисного числа в терминах матриц, он говорит, что всякий раз, когда А является м-от-п матрица над р и B является п-от-м матрица над р такой, что AB = я и BA = я, тогда м = п. Эта форма показывает, что определение симметрично слева и справа, поэтому не имеет значения, определяем мы IBN в терминах левых или правых модулей; два определения эквивалентны.

Обратите внимание, что изоморфизмы в определениях нет изоморфизмы колец, они изоморфизмы модулей.

Характеристики

Основное назначение инварианта основа числовое условие состоит в том, что свободные модули над кольцом IBN удовлетворяют аналогу теорема размерности для векторных пространств: любые две базы свободного модуля над кольцом IBN имеют одинаковую мощность. Если предположить лемма об ультрафильтрации (строго более слабая форма аксиома выбора ), этот результат фактически эквивалентен приведенному здесь определению, и его можно рассматривать как альтернативное определение.

В классифицировать бесплатного модуля р^п через кольцо IBN р определяется как мощность экспоненты м любого (а значит, и каждого) р-модуль р^м изоморфен р^п. Таким образом, свойство IBN утверждает, что каждый класс изоморфизма свободных р-модули имеют уникальный ранг. Ранг не определен для колец, не удовлетворяющих IBN. Для векторных пространств ранг также называется измерение. Таким образом, результат выше вкратце: ранг определяется однозначно для всех свободных р-модули если только он однозначно определен для конечно порожденный свободный р-модули.

Примеры

Любое поле удовлетворяет IBN, и это сводится к тому, что конечномерные векторные пространства имеют четко определенную размерность. Более того, любые коммутативное кольцо (кроме тривиального случая, когда 1 = 0) удовлетворяет IBN, как и любой лево-нётеровское кольцо и любой полулокальное кольцо.

Доказательство

Позволять А коммутативное кольцо и предположим, что существует А-модульный изоморфизм ${\displaystyle f\colon A^{n}\to A^{p}}$. Позволять ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ каноническая основа А^п, что значит ${\displaystyle e_{i}\in A^{n}}$ все нули кроме единицы в я-я позиция. К Теорема Крулля, позволять я а максимальный правильный идеальный из А и ${\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})\in I^{n}}$. An А-модульный морфизм означает

${\displaystyle f(i_{1},\dots ,i_{n})=\sum _{k=1}^{n}i_{k}f(e_{k})\in I^{p}}$

потому что я это идеал. Так ж вызывает А/я-модульный морфизм ${\displaystyle f'\colon \left({\frac {A}{I}}\right)^{n}\to \left({\frac {A}{I}}\right)^{p}}$, что легко доказать, что это изоморфизм. С А/я это поле, f ' является изоморфизмом конечномерных векторных пространств, поэтому п = п.

Примером кольца, которое не удовлетворяет IBN, является кольцо столбцы конечных матриц ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$, матрицы с коэффициентами в кольце р, с записями, проиндексированными ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ и в каждом столбце есть только конечное число ненулевых записей. Это последнее требование позволяет нам определить произведение бесконечных матриц MN, придавая кольцевую структуру. Изоморфизм левого модуля ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$ дан кем-то:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{odd columns of }}M,{\text{ even columns of }}M)\end{array}}}$

Это бесконечное матричное кольцо оказывается изоморфным кольцу эндоморфизмы права бесплатный модуль над р из счетный рейтинг, который находится на странице 190 из (Hungerford ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFHungerford (Помогите).

Из этого изоморфизма можно показать (сокращая ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$) который S ≅ S^п для любого положительного целого числа п, и поэтому S^п ≅ S^м для любых двух натуральных чисел м и п. Есть и другие примеры не-IBN колец без этого свойства, среди них Алгебры Ливитта как показано на (Абрамс 2002 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFAbrams2002 (Помогите).

Другие результаты

IBN - необходимое (но не достаточное) условие вложимости кольца без делителей нуля в делительное кольцо (дать поле дробей в коммутативном случае). См. Также Состояние руды.

Каждый нетривиальный делительное кольцо или стабильно конечное кольцо имеет инвариантный базисный номер.

Рекомендации

• Абрамс, Джин; Ан, П. Н. (2002), "Некоторые ультраматричные алгебры, которые возникают как пересечения алгебр Ливитта", J. Algebra Appl., 1 (4): 357–363, Дои:10.1142 / S0219498802000227, ISSN  0219-4988, Г-Н  1950131

• Хангерфорд, Томас В. (1980) [1974], Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 73, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xxiii + 502, ISBN  0-387-90518-9, Г-Н  0600654 Перепечатка оригинала 1974 г.