Теорема о комплексном сопряженном корне - Complex conjugate root theorem

В математика, то комплексно сопряженный корень теорема заявляет, что если п это многочлен в одной переменной с настоящий коэффициенты, и а + би это корень из п с а и б реальные числа, то его комплексно сопряженный а − би также является корнем п.^[1]

Из этого следует (а основная теорема алгебры ), что если степень вещественного многочлена нечетная, он должен иметь хотя бы один действительный корень.^[2] Этот факт также можно доказать, используя теорема о промежуточном значении.

Примеры и следствия

• Полином Икс² + 1 = 0 имеет корни ±я.
• Любой настоящий квадрат матрица нечетной степени имеет хотя бы один реальный собственное значение. Например, если матрица ортогональный, то 1 или −1 - собственное значение.
• Полином

${displaystyle x^{3}-7x^{2}+41x-87}$

имеет корни

${displaystyle 3,,2+5i,,2-5i,}$

и поэтому может быть разложен на множители как

${displaystyle (x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).}$

При вычислении произведения двух последних множителей мнимые части сокращаются, и мы получаем

${displaystyle (x-3)(x^{2}-4x+29).}$

Неверные множители попадают в пары, которые при умножении дают квадратичные многочлены с действительными коэффициентами. Поскольку каждый многочлен с комплексными коэффициентами может быть разложен на множители 1-й степени (это один из способов сформулировать основная теорема алгебры ), следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на множители степени не выше 2: только множители 1-й степени и квадратичные множители.

• Если корни а + би и а-би, они образуют квадратичный

${displaystyle x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2})}$.

Если третий корень c, это становится

${displaystyle (x^{2}-2ax+(a^{2}+b^{2}))(x-c)}$

${displaystyle =x^{3}+x^{2}(-2a-c)+x(2ac+a^{2}+b^{2})-c(a^{2}+b^{2})}$.

Следствие о многочленах нечетной степени

Из настоящей теоремы и основная теорема алгебры что если степень действительного многочлена нечетная, он должен иметь хотя бы один действительный корень.^[2]

Это можно доказать следующим образом.

• Поскольку нереальные комплексные корни входят в сопряженные пары, их четное число;
• Но многочлен нечетной степени имеет нечетное число корней;
• Следовательно, некоторые из них должны быть настоящими.

Это требует осторожности при наличии множественные корни; но сложный корень и его конъюгат имеют одно и то же множественность (и это лемма нетрудно доказать). Это также можно обойти, рассматривая только неприводимые многочлены; любой действительный многочлен нечетной степени должен иметь неприводимый множитель нечетной степени, который (не имеющий кратных корней) должен иметь действительный корень по рассуждению выше.

Это следствие также можно доказать непосредственно с помощью теорема о промежуточном значении.

Доказательство

Одно из доказательств теоремы выглядит следующим образом:^[2]

Рассмотрим многочлен

${displaystyle P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+cdots +a_{n}z^{n}}$

где все а_р настоящие. Предположим некоторое комплексное число ζ это корень п, то есть п(ζ) = 0. Необходимо показать, что

${displaystyle P({overline {zeta }})=0}$

также.

Если п(ζ) = 0, то

${displaystyle a_{0}+a_{1}zeta +a_{2}zeta ^{2}+cdots +a_{n}zeta ^{n}=0}$

который можно записать как

${displaystyle sum _{r=0}^{n}a_{r}zeta ^{r}=0.}$

Сейчас же

${displaystyle P({overline {zeta }})=sum _{r=0}^{n}a_{r}left({overline {zeta }}ight)^{r}}$

и учитывая свойства комплексного сопряжения,

${displaystyle sum _{r=0}^{n}a_{r}left({overline {zeta }}ight)^{r}=sum _{r=0}^{n}a_{r}{overline {zeta ^{r}}}=sum _{r=0}^{n}{overline {a_{r}zeta ^{r}}}={overline {sum _{r=0}^{n}a_{r}zeta ^{r}}}.}$

С,

${displaystyle {overline {sum _{r=0}^{n}a_{r}zeta ^{r}}}={overline {0}}}$

следует, что

${displaystyle sum _{r=0}^{n}a_{r}left({overline {zeta }}ight)^{r}={overline {0}}=0.}$

То есть,

${displaystyle P({overline {zeta }})=a_{0}+a_{1}{overline {zeta }}+a_{2}left({overline {zeta }}ight)^{2}+cdots +a_{n}left({overline {zeta }}ight)^{n}=0.}$

Обратите внимание, что это работает только потому, что а_р настоящие, то есть ${displaystyle {overline {a_{r}}}=a_{r}}$. Если бы какой-либо из коэффициентов был нереальным, корни не обязательно были бы сопряженными парами.

Примечания

1. Энтони Г. О'Фарелл и Гэри Макгуайр (2002). «Комплексные числа, 8.4.2 Комплексные корни действительных многочленов». Учебное пособие по математической олимпиаде Мейнут. Logic Press. п. 104. ISBN  0954426908. Предварительный просмотр доступен на Книги Google
2. Алан Джеффри (2005). «Аналитические функции». Комплексный анализ и приложения. CRC Press. С. 22–23. ISBN  158488553X.