Неравенство Бесселя - Bessels inequality - Wikipedia

В математика, особенно функциональный анализ, Неравенство Бесселя это утверждение о коэффициентах элемента ${\displaystyle x}$ в Гильбертово пространство в отношении ортонормированный последовательность. Неравенство было получено Ф.В. Бессель в 1828 г.^[1]

Позволять ${\displaystyle H}$ - гильбертово пространство, и предположим, что ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ ортонормированная последовательность в ${\displaystyle H}$. Тогда для любого ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle H}$ надо

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},}$

где ⟨·, ·⟩ обозначает внутренний продукт в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$.^[2][3][4] Если мы определим бесконечную сумму

${\displaystyle x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},}$

состоящий из «бесконечной суммы» вектор решительный ${\displaystyle x}$ в направлении ${\displaystyle e_{k}}$, Бесселя неравенство говорит нам, что это серии сходится. Можно подумать, что существует ${\displaystyle x'\in H}$ что можно описать с точки зрения потенциальной основы ${\displaystyle e_{1},e_{2},\dots }$.

Для полной ортонормированной последовательности (то есть для ортонормированной последовательности, которая является основа ), у нас есть Личность Парсеваля, заменяющее неравенство равенством (и, следовательно, ${\displaystyle x'}$ с ${\displaystyle x}$).

Неравенство Бесселя следует из тождества

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},\end{aligned}}}$

что справедливо для любых естественных п.

Смотрите также

• Неравенство Коши – Шварца
• Теорема Парсеваля

Примечания

1. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bessel_inequality
2. Сакс, Карен (2001-12-07). Начало функционального анализа. Springer Science & Business Media. п. 82. ISBN  9780387952246.
3. Зорич, Владимир А .; Кук, Р. (22 января 2004 г.). Математический анализ II. Springer Science & Business Media. С. 508–509. ISBN  9783540406334.
4. Веттерли, Мартин; Ковачевич, Елена; Гоял, Вивек К. (04.09.2014). Основы обработки сигналов. Издательство Кембриджского университета. п. 83. ISBN  9781139916578.

внешняя ссылка

• «Неравенство Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Неравенство Бесселя статья о неравенстве Бесселя в MathWorld.

В этой статье использован материал из неравенства Бесселя о PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.