Обратите внимание, что для ясности мы используем только векторы-столбцы (в декартовой системе координат) выше, но уравнение записывается с использованием физических компонентов (которые не являются ни ковариантами («столбец»), ни контравариантами («строка»)).[5] Однако, если мы выбрали неортогональную криволинейную систему координат, тогда мы должны вычислять и записывать уравнения в ковариантной («векторы-строки») или контравариантной («векторы-столбцы») форме.
После соответствующей замены переменных его также можно записать в форма сохранения:
где j это плотность импульса в данной точке пространства-времени, F - поток, связанный с плотностью импульса, а s содержит все силы тела на единицу объема.
Дифференциальный вывод
Начнем с обобщенный принцип сохранения импульса который можно записать следующим образом: «Изменение импульса системы пропорционально результирующей силе, действующей на эту систему». Это выражается формулой:[6]
где импульс во времени t, это сила, усредненная по . После деления на и переходя к пределу мы получили (производная ):
Давайте проанализируем каждую сторону приведенного выше уравнения.
Правая сторона
Компонент X сил, действующих на стенки кубического жидкого элемента (зеленый для верхних и нижних стенок; красный для левых и правых; черный для передних и задних).
На верхнем графике мы видим приближение функции (синяя линия) с использованием конечной разности (желтая линия). На нижнем графике мы видим «бесконечно увеличенную окрестность точки "(фиолетовый квадрат на верхнем графике). На нижнем графике желтая линия полностью покрыта синей, поэтому не видна. На нижнем рисунке были использованы две эквивалентные производные формы: ], а обозначение было использовано.
Поверхностные силы действуют на стенки кубического жидкого элемента. Для каждой стены компонент X этих сил отмечен на рисунке кубическим элементом (в виде произведения напряжения и площади поверхности, например ).
Объяснение значения сил (приближения и минус), действующих на стенки куба.
Это требует некоторого объяснения, почему напряжение, приложенное к стенам, покрывающим оси координат, принимает знак минус (например, для левой стены мы имеем ). Для простоты остановимся на левой стене с натяжением . Знак минус связан с тем, что нормальный к этой стене вектор - отрицательный единичный вектор. Затем мы рассчитали вектор напряжения по определению , поэтому компонент X этого вектора равен (мы используем аналогичные рассуждения для напряжений, действующих на нижнюю и заднюю стенки, то есть: ).
Второй элемент, требующий пояснения, - это аппроксимация значений напряжений, действующих на стенки напротив стен, охватывающих оси. Давайте сосредоточимся на правой стене, где напряжение является приближением напряжения. от левой стены в точках с координатами и он равен . Это приближение является результатом применения Формула Тейлора для функции приближенной, т.е.
Потому что ценность бесконечно меньше, чем значение , поэтому все компоненты с в степенях больше единицы может быть пропущено как незначительное. Таким образом, мы получили искомую аппроксимацию натяжения на противоположной стене. Более интуитивное представление значения приближения в точке показан на рисунке под кубом. Мы продолжаем аналогичные рассуждения для приближений напряжений. .
Складывая силы (их X-компоненты), действующие на каждую из стенок куба, получаем:
После заказа и выполняя аналогичные рассуждения для компонентов (они не показаны на рисунке, но это будут векторы, параллельные осям Y и Z соответственно) получаем:
Затем мы можем записать это в символической операционной форме:
Внутри контрольного объема действуют массовые силы. Мы можем записать их, используя поле ускорения (например, ускорение свободного падения):
Левая сторона
Вычислим импульс куба:
Поскольку мы предполагаем, что проверенная масса (куб) постоянна во времени, поэтому
Сравнение левой и правой стороны
У нас есть
тогда
тогда
Разделите обе стороны на , и потому что мы получаем:
где Ω представляет собой контрольный объем. Поскольку это уравнение должно выполняться для любого контрольного объема, должно быть верно, что подынтегральное выражение равно нулю, из этого следует уравнение импульса Коши. Главный шаг (не сделанный выше) при выводе этого уравнения - установить, что производная тензора напряжений - одна из сил, составляющих Fя.[1]
Уравнение импульса Коши также можно записать в следующем виде:
Уравнение импульса Коши(форма сохранения)
просто определив:
где j это плотность импульса в рассматриваемой точке континуума (для которой уравнение неразрывности держит), F - поток, связанный с плотностью импульса, а s содержит все силы тела на единицу объема. ты ⊗ ты это диада скорости.
Здесь j и s иметь такое же количество измерений N как скорость потока и ускорение тела, а F, будучи тензор, имеет N2.[примечание 1]
В эйлеровых формах очевидно, что предположение об отсутствии девиаторного напряжения приводит уравнения Коши к уравнению Уравнения Эйлера.
Конвективное ускорение
Пример конвективного ускорения. Поток устойчивый (не зависящий от времени), но жидкость замедляется по мере движения вниз по расширяющемуся каналу (предполагая несжимаемый или дозвуковой сжимаемый поток).
Существенной особенностью уравнений Навье – Стокса является наличие конвективного ускорения: эффект не зависящего от времени ускорения потока относительно пространства. Хотя отдельные частицы континуума действительно испытывают зависящее от времени ускорение, конвективное ускорение поля потока является пространственным эффектом, одним из примеров которого является ускорение жидкости в сопле.
Независимо от типа континуума, конвективное ускорение - это нелинейный эффект. Конвективное ускорение присутствует в большинстве потоков (исключения включают одномерное течение несжимаемой жидкости), но его динамическое влияние не учитывается в ползучий поток (также называемый потоком Стокса). Конвективное ускорение представлено нелинейный количество ты · ∇ты, что можно интерпретировать как (ты · ∇)ты или как ты · (∇ты), с участием ∇ты то тензорная производная вектора скорости ты. Обе интерпретации дают одинаковый результат.[7]
Оператор адвекции против тензорной производной
Условие конвекции можно записать как (ты · ∇)ты, где ты · ∇ это оператор адвекции. Это представление можно противопоставить представлению в терминах тензорной производной.[7] Тензорная производная ∇ты - покомпонентная производная вектора скорости, определяемая формулой [∇ты]ми = ∂м vя, так что
где индекс Фейнмана ∇а используется, что означает, что индексированный градиент действует только на множитель а.
ягненок в своей знаменитой классической книге «Гидродинамика» (1895 г.),[8], использовал это тождество для изменения конвективного члена скорости потока во вращательной форме, то есть без тензорной производной:[9][требуется полная цитата ][10]
где вектор называется Ягненок вектор. Уравнение импульса Коши принимает следующий вид:
Используя личность:
уравнение Коши принимает следующий вид:
Фактически, в случае внешнего консервативное поле, определив его потенциал φ:
В случае установившегося потока производная скорости потока по времени исчезает, поэтому уравнение количества движения принимает следующий вид:
И, проецируя уравнение количества движения на направление потока, т.е. рационализировать, перекрестное произведение исчезает из-за тождества векторного исчисления тройное скалярное произведение:
Если тензор напряжений изотропен, то входит только давление: (куда я - тождественный тензор), а уравнение импульса Эйлера в стационарном случае несжимаемой жидкости принимает вид:
= 0
В случае установившейся несжимаемой жидкости массовое уравнение просто:
это, закон сохранения массы для установившегося потока несжимаемой жидкости утверждает, что плотность вдоль линии тока постоянна. Это приводит к значительному упрощению уравнения импульса Эйлера:
Удобство определения общая голова для невязкой жидкости поток теперь очевиден:
Фактически, приведенное выше уравнение можно просто записать как:
Это, баланс количества движения для устойчивого невязкого и несжимаемого потока во внешнем консервативном поле утверждает, что полный напор вдоль линии тока постоянен.
Безвихревые потоки
Форма Лэмба также полезна в безвихревом потоке, где завиток скорости (называемой завихренность ) ω = ∇ × ты равно нулю. В этом случае член конвекции сводится к
Стрессы
Влияние напряжения в непрерывном потоке представлено ∇п и ∇ · τ термины; Эти градиенты поверхностных сил, аналогичных напряжениям в твердом теле. Здесь ∇п является градиентом давления и возникает из-за изотропной части Тензор напряжений Коши. Эта часть дается нормальные напряжения что происходит почти во всех ситуациях. Анизотропная часть тензора напряжений приводит к ∇ · τ, который обычно описывает вязкие силы; для несжимаемого потока это только эффект сдвига. Таким образом, τ это девиаторный тензор напряжений, а тензор напряжений равен:[11][требуется полная цитата ]
где я это единичная матрица в рассматриваемом пространстве и τ тензор сдвига.
Расходимость тензора напряжений можно записать как
Влияние градиента давления на поток заключается в ускорении потока в направлении от высокого давления к низкому.
Как записано в уравнении импульса Коши, члены напряжений п и τ пока неизвестны, поэтому одно это уравнение нельзя использовать для решения задач. Помимо уравнений движения - второго закона Ньютона - необходима силовая модель, связывающая напряжения с движением потока.[12] По этой причине предположения, основанные на естественных наблюдениях, часто применяются для определения напряжений в терминах других переменных потока, таких как скорость и плотность.
Внешние силы
Векторное поле ж представляет собой силы тела на единицу массы. Обычно они состоят только из сила тяжести ускорение, но может включать и другие, например электромагнитные силы. В неинерциальных системах координат другие «инерционные ускорения», связанные с вращающиеся координаты может возникнуть.
Часто эти силы могут быть представлены как градиент некоторой скалярной величины χ, с участием ж = ∇χ в этом случае они называются консервативные силы. Гравитация в z направление, например, градиент −ρgz. Поскольку давление от такой гравитации возникает только как градиент, мы можем включить его в термин давления как объемную силу. час = п − χ. Члены давления и силы в правой части уравнения Навье – Стокса принимают вид
Также в термин «стресс» можно включить внешние воздействия. а не член силы тела. Это может даже включать антисимметричные напряжения (входные данные углового момента), в отличие от обычно симметричных внутренних вкладов в тензор напряжений.[13]
Обезразмеривание
Чтобы уравнения были безразмерными, характерная длина р0 и характеристическая скорость ты0 необходимо определить. Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были первого порядка. Таким образом получаются следующие безразмерные переменные:
Подстановка этих перевернутых соотношений в уравнения импульса Эйлера дает:
Уравнения Коши в пределе Фруда Пт → ∞ (соответствующие незначительному внешнему полю) называются свободными уравнениями Коши:
Уравнение свободного импульса Коши (безразмерная консервативная форма)
и может быть в конце концов уравнения сохранения. Таким образом, предел больших чисел Фруда (низкое внешнее поле) примечателен такими уравнениями и изучается с помощью теория возмущений.
Наконец, в конвективной форме уравнения следующие:
^Например, в 3D относительно некоторой системы координат вектор j имеет 3 компоненты, а тензоры σ и F имеют 9 (3x3), поэтому явные формы, записанные в виде матриц, будут:
Обратите внимание, однако, что если симметричный, F будет содержать только 6 степени свободы. И Fсимметрия эквивалентна σсимметрии (которая будет присутствовать для наиболее распространенных Тензоры напряжений Коши ), так как диады векторов сами с собой всегда симметричны.
^ абPapanastasiou, Tasos C .; Георгиу, Георгиос С .; Александру, Андреас Н. (2000). Течение вязкой жидкости(PDF). CRC Press. п. 66,68,143,182 (Авторы используют ). ISBN0-8493-1606-5.