Принцип аргументации - Argument principle

Простой контур C (черный), нули ж (синий) и полюса ж (красный). Здесь у нас есть ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=4-5.}$

В комплексный анализ, то принцип аргумента (или же Принцип аргумента Коши) связывает разницу между количеством нули и полюсы из мероморфная функция к контурный интеграл функции логарифмическая производная.

В частности, если ж(z) - мероморфная функция внутри и на некотором замкнутом контуре C, и ж не имеет нулей или полюсов на C, тогда

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=Z-P}$

куда Z и п обозначим соответственно количество нулей и полюсов ж(z) внутри контура C, где каждый нуль и полюс считаются столько раз, сколько их множественность и порядок соответственно указывают. Это утверждение теоремы предполагает, что контур C простой, то есть без самопересечений, и что он ориентирован против часовой стрелки.

В более общем плане предположим, что ж(z) - мероморфная функция на открытый набор Ω в комплексная плоскость и это C - замкнутая кривая в Ω, избегающая всех нулей и полюсов ж и является стягиваемый в точку внутри Ω. Для каждой точки z ∈ Ω, пусть п(C,z) быть номер намотки из C вокруг z. потом

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)}$

где первое суммирование ведется по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, а второе суммирование ведется по полюсам б из ж считал со своими заказами.

Интерпретация контурного интеграла

В контурный интеграл ${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz}$ можно интерпретировать как 2πя умноженное на число извилистого пути ж(C) вокруг начала координат, используя замену ш = ж(z):

${\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\oint _{f(C)}{\frac {1}{w}}\,dw}$

То есть это я умноженное на общее изменение аргумент из ж(z) в качестве z путешествует вокруг C, объясняя название теоремы; это следует из

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log(f(z))={\frac {f'(z)}{f(z)}}}$

и связь между аргументами и логарифмами.

Доказательство принципа аргумента

Позволять z_Z быть нулем ж. Мы можем написать ж(z) = (z − z_Z)^kграмм(z) куда k - кратность нуля, поэтому грамм(z_Z) ≠ 0. Получаем

${\displaystyle f'(z)=k(z-z_{Z})^{k-1}g(z)+(z-z_{Z})^{k}g'(z)\,\!}$

и

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={k \over z-z_{Z}}+{g'(z) \over g(z)}.}$

С грамм(z_Z) ≠ 0, то грамм' (z)/грамм(z) не имеет особенностей при z_Z, и поэтому аналитична в z_Z, откуда следует, что остаток из ж′(z)/ж(z) в z_Z являетсяk.

Позволять z_п быть полюсом ж. Мы можем написать ж(z) = (z − z_п)^−мчас(z) куда м порядок полюса, а час(z_п) ≠ 0. Тогда

${\displaystyle f'(z)=-m(z-z_{P})^{-m-1}h(z)+(z-z_{P})^{-m}h'(z)\,\!.}$

и

${\displaystyle {f'(z) \over f(z)}={-m \over z-z_{P}}+{h'(z) \over h(z)}}$

аналогично тому, как указано выше. Следует, что час′(z)/час(z) не имеет особенностей при z_п поскольку час(z_п) ≠ 0 и, следовательно, аналитична в z_п. Мы находим, что остатокж′(z)/ж(z) в z_п это -м.

Собирая их вместе, каждый ноль z_Z множественности k из ж создает простой столб дляж′(z)/ж(z) с остатком k, и каждый полюс z_п порядка м изж создает простой столб для ж′(z)/ж(z) с остатком -м. (Здесь под простым полюсом мы понимаем полюс первого порядка.) Кроме того, можно показать, что ж′(z)/ж(z) не имеет других полюсов, а значит, и других остатков.

Посредством теорема о вычетах у нас есть интеграл о C это произведение 2πi и сумма остатков. Вместе сумма k для каждого нуля z_Z - это количество нулей с учетом кратностей нулей, а также для полюсов, так что мы получили наш результат.

Приложения и последствия

Принцип аргумента можно использовать для эффективного определения местоположения нулей или полюсов мероморфных функций на компьютере. Даже с ошибками округления выражение ${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz}$ даст результаты, близкие к целому числу; путем определения этих целых чисел для разных контуров C можно получить информацию о расположении нулей и полюсов. Численные испытания Гипотеза Римана используйте эту технику, чтобы получить верхнюю границу количества нулей Римана ${\displaystyle \xi (s)}$ функция внутри прямоугольника, пересекающего критическую линию.

Доказательство Теорема Руше использует принцип аргумента.

Современные книги по теории управления с обратной связью довольно часто используют принцип аргумента в качестве теоретической основы Критерий устойчивости Найквиста.

Следствием более общей формулировки принципа аргумента является то, что при той же гипотезе, если грамм является аналитической функцией в Ω, то

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}$

Например, если ж это многочлен с нулями z₁, ..., z_п внутри простого контура C, и грамм(z) = z^k, тогда

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\cdots +z_{p}^{k},}$

является симметричный многочлен степенной суммы корней ж.

Другое следствие - если мы вычислим комплексный интеграл:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz}$

для соответствующего выбора грамм и ж у нас есть Формула Абеля – Планы:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt}$

который выражает связь между дискретной суммой и ее интегралом.

Принцип обобщенного аргумента

Немедленное обобщение принципа аргументации. Предположим, что g аналитична в области ${\displaystyle \Omega }$. потом

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f'(z) \over f(z)}g(z)\,dz=\sum _{a}g(a)n(C,a)-\sum _{b}g(b)n(C,b)}$

где первое суммирование снова по всем нулям а из ж с учетом их кратностей, и второе суммирование снова проводится по полюсам б из ж считал со своими заказами.

История

Согласно книге Фрэнк Смитис (Коши и создание теории сложных функций, Cambridge University Press, 1997, стр. 177), Огюстен-Луи Коши представил теорему, аналогичную приведенной выше, 27 ноября 1831 года во время добровольного изгнания в Турине (тогдашнюю столицу Королевства Пьемонт-Сардиния) из Франции. Однако, согласно этой книге, упоминались только нули, а не полюсы. Эта теорема Коши была опубликована только много лет спустя, в 1874 г., в рукописном виде, поэтому ее довольно трудно читать. Коши опубликовал статью с обсуждением нулей и полюсов в 1855 году, за два года до своей смерти.

Смотрите также

• Логарифмическая производная
• Критерий устойчивости Найквиста

Рекомендации

• Рудин, Вальтер (1986). Реальный и комплексный анализ (Международная серия по чистой и прикладной математике). Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054234-1.
• Альфорс, Ларс (1979). Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одного комплексного переменного. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-000657-7.
• Черчилль, Рюэль Вэнс; Браун, Джеймс Уорд (1989). Комплексные переменные и приложения. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-010905-6.
• Backlund, R.-J. (1914) Sur les zéros de la fonction zeta (s) de Riemann, C.R. Acad. Sci. Париж 158, 1979–1982 гг.

внешняя ссылка

• «Аргумент, принцип», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]