Формула Абеля – Планы - Abel–Plana formula

В математике Формула Абеля – Планы это суммирование формула, открытая независимо Нильс Хенрик Абель  (1823 ) и Джованни Антонио Амедео Плана  (1820 ). В нем говорится, что

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx+{\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$

Это верно для функций ж которые голоморфный в области Re (z) ≥ 0 и удовлетворяют подходящему условию роста в этой области; например, достаточно предположить, что |ж| ограничен C/|z|^{1 + ε} в этой области для некоторых констант C, ε> 0, хотя формула верна и при гораздо более слабых оценках. (Олвер 1997, стр.290).

Примером может служить Дзета-функция Гурвица,

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}={\frac {\alpha ^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2\alpha ^{s}}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin \left(s\arctan {\frac {t}{\alpha }}\right)}{(\alpha ^{2}+t^{2})^{\frac {s}{2}}}}{\frac {dt}{e^{2\pi t}-1}},}$

что справедливо для всех s ∈ ℂ, s ≠ 1.

Абель также дал следующую вариацию для переменных сумм:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{2\sinh(\pi t)}}\,dt.}$

Доказательство

Позволять ${\displaystyle f}$ быть голоморфным на ${\displaystyle \Re (z)\geq 0}$, так что ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle f(z)=O(|z|^{k})}$ и для ${\displaystyle {\text{arg}}(z)\in (-\beta ,\beta )}$, ${\displaystyle f(z)=O(|z|^{-1-\delta })}$. Принимая ${\displaystyle a=e^{i\beta /2}}$ с теорема о вычетах

${\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{0}+\int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}dz=-2i\pi \sum _{n=0}^{\infty }Res\left({\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }f(n).}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a^{-1}\infty }^{0}{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}dz&=-\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}dz=\int _{0}^{a^{-1}\infty }{\frac {f(z)}{e^{2i\pi z}-1}}dz+\int _{0}^{a^{-1}\infty }f(z)dz=\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a^{-1}t)}{e^{2i\pi a^{-1}t}-1}}d(a^{-1}t)+\int _{0}^{\infty }f(t)dt.\end{aligned}}}$

С использованием Интегральная теорема Коши для последнего. ${\displaystyle \int _{0}^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}dz=\int _{0}^{\infty }{\frac {f(at)}{e^{-2i\pi at}-1}}d(at)}$, таким образом получив

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {a\,f(at)}{e^{-2i\pi at}-1}}+{\frac {a^{-1}f(a^{-1}t)}{e^{2i\pi a^{-1}t}-1}}\right)dt.}$

Это тождество остается верным при аналитическом продолжении всюду, где сходится интеграл, позволяя ${\displaystyle a\to i}$ получаем формулу Абеля-Планы

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)=\int _{0}^{\infty }\left(f(t)+{\frac {i\,f(it)-i\,f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\right)dt}$.

Дело f (0) ≠ 0 получается аналогично, заменяя ${\displaystyle \int _{a^{-1}\infty }^{a\infty }{\frac {f(z)}{e^{-2i\pi z}-1}}dz}$ двумя интегралами, следующими по одним и тем же кривым с небольшим углублением слева и справа от 0.

Смотрите также

• Формула суммирования Эйлера – Маклорена
• Суммирование Эйлера – Буля

использованная литература

• Абель, Н.Х. (1823 г.), Решение проблем, связанных с определенным содержанием
• Butzer, P.L .; Ferreira, P. J. S. G .; Schmeisser, G .; Стенс, Р. Л. (2011), «Формулы суммирования Эйлера – Маклорена, Абеля – Планы, Пуассона и их взаимосвязь с приближенной формулой дискретизации анализа сигналов», Результаты по математике, 59 (3): 359–400, Дои:10.1007 / s00025-010-0083-8, ISSN  1422-6383, Г-Н  2793463
• Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1997) [1974], Асимптотика и специальные функции, AKP Classics, Веллесли, Массачусетс: A K Peters Ltd., ISBN  978-1-56881-069-0, Г-Н  1429619
• Плана, Г.А.А. (1820), «Sur une nouvelle expression analytique des nombres Bernoulliens, propre à exprimer en termes finis la formule générale pour la somitation des suites», Mem. Accad. Sci. Турин, 25: 403–418

внешние ссылки

• Андерсон, Дэвид. «Формула Абель-Плана». MathWorld.