Индекс Вурхоува - Voorhoeve index

В математике Индекс Вурхоува неотрицательный настоящий номер связаны с определенными функции на сложные числа, названный в честь Марк Вурхов. Может использоваться для продления Теорема Ролля от вещественных функций к комплексным, принимая роль, которую для реальных функций играет количество нулей функции в интервал.

Определение

Индекс Вурхоува ${\displaystyle V_{I}(f)}$ комплекснозначной функции ж то есть аналитический в комплексе район реального интервала ${\displaystyle I}$ = [а, б] дан кем-то

${\displaystyle V_{I}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\frac {d}{dt}}{\rm {Arg}}\,f(t)\right|\,\,dt\,={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\rm {Im}}\left({\frac {f'}{f}}\right)\right|\,dt.}$

(Разные авторы используют разные коэффициенты нормализации.)

Теорема Ролля

Теорема Ролля заявляет, что если ж это непрерывно дифференцируемый действительнозначная функция на реальная линия, и ж(а) = ж(б) = 0, где а < б, то его производная ж 'должен иметь ноль строго между а и б. Или, в более общем смысле, если ${\displaystyle N_{I}(f)}$ обозначает количество нулей непрерывно дифференцируемой функции ж на интервале ${\displaystyle I}$, тогда ${\displaystyle N_{I}(f)}$ ≤ ${\displaystyle N_{I}}$(ж ') + 1.

Теперь у нас есть аналог теоремы Ролля:

${\displaystyle V_{I}(f)\leq V_{I}(f')+{\frac {1}{2}}.}$

Это приводит к ограничению количества нулей аналитической функции в сложной области.

Рекомендации

• Вурхув, Марк (1976), "О колебании экспоненциальных многочленов", Математика. Z., 151: 277–294, Дои:10.1007 / bf01214940
• Хованский, А .; Яковенко, С. (1996), "Обобщенная теорема Ролля в ${\displaystyle R^{n}}$ и ${\displaystyle C}$", J. Dyn. Control Syst., 2: 103–123, Дои:10.1007 / bf02259625