Столярского - Stolarsky mean

В математика, то Столярского является обобщением логарифмическое среднее. Он был представлен Кеннет Б. Столярски в 1975 г.^[1]

Определение

За два положительных действительные числа Икс, у Среднее значение Столярского определяется как:

{displaystyle {egin {align} S_ {p} (x, y) & = lim _ {(xi, eta) o (x, y)} left ({frac {xi ^ {p} -eta ^ {p}}) {p (xi -eta)}} ight) ^ {1 / (p-1)} [10pt] & = {egin {case} x & {ext {if}} x = y left ({frac {x ^ {p} -y ^ {p}} {p (xy)}} ight) ^ {1 / (p-1)} & {ext {else}} конец {случаи}} конец {выровнено}}}

Это получено из теорема о среднем значении, в котором говорится, что секущая линия, разрезая график дифференцируемый функция ${displaystyle f}$ в ${displaystyle (x, f (x))}$ и ${displaystyle (y, f (y))}$ , имеет то же самое склон как линия касательная к графику в какой-то момент ${displaystyle xi}$ в интервал ${displaystyle [x, y]}$ .

{displaystyle существует xi в [x, y] f '(xi) = {frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}

Среднее значение Столярского получается

{displaystyle xi = f '^ {- 1} left ({frac {f (x) -f (y)} {x-y}} ight)}

при выборе ${displaystyle f (x) = x ^ {p}}$ .

${displaystyle lim _ {p o -infty} S_ {p} (x, y)}$ это минимум.
${displaystyle S _ {- 1} (x, y)}$ это среднее геометрическое.
${displaystyle lim _ {p o 0} S_ {p} (x, y)}$ это логарифмическое среднее. Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав ${displaystyle f (x) = ln x}$ .
${displaystyle S_ {гидроразрыв {1} {2}} (x, y)}$ это среднее значение мощности с показателем ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ .
${displaystyle lim _ {p o 1} S_ {p} (x, y)}$ это идентичное среднее. Его можно получить из теоремы о среднем, выбрав ${displaystyle f (x) = xcdot ln x}$ .
${displaystyle S_ {2} (x, y)}$ это среднее арифметическое.
${displaystyle S_ {3} (x, y) = QM (x, y, GM (x, y))}$ это связь с среднее квадратичное и среднее геометрическое.
${displaystyle lim _ {p o infty} S_ {p} (x, y)}$ это максимум.