Логарифмическое среднее - Logarithmic mean

Не путать с формулировка среднего геометрического.

Трехмерный график, показывающий значения среднего логарифмического значения.

В математика, то логарифмическое среднее это функция двух неотрицательных числа что равно их разница разделенный на логарифм от их частное. Этот расчет применим в инженерное дело проблемы, связанные с высокая температура и массообмен.

Определение

Среднее логарифмическое значение определяется как:

${displaystyle {egin{aligned}M_{ ext{lm}}(x,y)&=lim _{(xi ,eta ) o (x,y)}{frac {eta -xi }{ln(eta )-ln(xi )}}[6pt]&={egin{cases}x&{ ext{if }}x=y,{frac {y-x}{ln(y)-ln(x)}}&{ ext{otherwise,}}end{cases}}end{aligned}}}$

для положительных чисел ${displaystyle x,y}$.

Неравенства

Среднее логарифмическое значение двух чисел меньше, чем среднее арифметическое и обобщенное среднее с показателем в одну треть, но больше, чем среднее геометрическое, если числа не совпадают, и в этом случае все три средних значения равны числам.

${displaystyle {sqrt {xy}}leq M_{ ext{lm}}(x,y)leq left({frac {x^{1/3}+y^{1/3}}{2}}ight)^{3}leq {frac {x+y}{2}}qquad { ext{ for all }}x>0{ ext{ and }}y>0.}$^[1][2][3]

Вывод

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления

От теорема о среднем значении, Существует ценность ${displaystyle xi }$ в интервал между Икс и у где производная ${displaystyle f'}$ равняется наклону секущая линия:

${displaystyle exists xi in (x,y): f'(xi )={frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

Среднее логарифмическое значение получается как значение ${displaystyle xi }$ путем замены ${displaystyle ln }$ за ${displaystyle f}$ и аналогично для соответствующего производная:

${displaystyle {frac {1}{xi }}={frac {ln(x)-ln(y)}{x-y}}}$

и решение для ${displaystyle xi }$:

${displaystyle xi ={frac {x-y}{ln(x)-ln(y)}}}$

Интеграция

Среднее логарифмическое значение также можно интерпретировать как площадь под экспоненциальная кривая.

${displaystyle {egin{aligned}L(x,y)={}&int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t} mathrm {d} t={}int _{0}^{1}left({frac {y}{x}}ight)^{t}x mathrm {d} t={}xint _{0}^{1}left({frac {y}{x}}ight)^{t}mathrm {d} t[3pt]={}&left.{frac {x}{ln left({frac {y}{x}}ight)}}left({frac {y}{x}}ight)^{t}ight|_{t=0}^{1}={}{frac {x}{ln left({frac {y}{x}}ight)}}left({frac {y}{x}}-1ight)={}{frac {y-x}{ln left({frac {y}{x}}ight)}}[3pt]={}&{frac {y-x}{ln left(yight)-ln left(xight)}}end{aligned}}}$

Интерпретация площади позволяет легко вывести некоторые основные свойства логарифмического среднего. Поскольку экспоненциальная функция равна монотонный, интеграл на отрезке длины 1 ограничен величиной ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$. В однородность интегрального оператора переносится на оператор среднего, т.е. ${displaystyle L(cx,cy)=cL(x,y)}$.

Два других полезных интегральных представления:

$${displaystyle {1 over L(x,y)}=int _{0}^{1}{operatorname {d} !t over tx+(1-t)y}}$$

и

$${displaystyle {1 over L(x,y)}=int _{0}^{infty }{operatorname {d} !t over (t+x),(t+y)}.}$$

Обобщение

Теорема о среднем значении дифференциального исчисления

Можно обобщить среднее значение на ${displaystyle n+1}$ переменных, учитывая Теорема о среднем значении для разделенных разностей для ${displaystyle n}$th производная логарифма.

Мы получаем

${displaystyle L_{ ext{MV}}(x_{0},,dots ,,x_{n})={sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}nln left(left[x_{0},,dots ,,x_{n}ight]ight)}}}$

где ${displaystyle ln left(left[x_{0},,dots ,,x_{n}ight]ight)}$ обозначает разделенная разница логарифма.

За ${displaystyle n=2}$ это ведет к

${displaystyle L_{ ext{MV}}(x,y,z)={sqrt {frac {(x-y)left(y-zight)left(z-xight)}{2left(left(y-zight)ln left(xight)+left(z-xight)ln left(yight)+left(x-yight)ln left(zight)ight)}}}}$.

интеграл

Интегральная интерпретация также может быть обобщена на большее количество переменных, но это приводит к другому результату. Учитывая симплекс ${ extstyle S}$ с ${ extstyle S={left(alpha _{0},,dots ,,alpha _{n}ight):left(alpha _{0}+dots +alpha _{n}=1ight)land left(alpha _{0}geq 0ight)land dots land left(alpha _{n}geq 0ight)}}$ и соответствующая мера ${ extstyle mathrm {d} alpha }$ что придает симплексу объем 1, получаем

${displaystyle L_{ ext{I}}left(x_{0},,dots ,,x_{n}ight)=int _{S}x_{0}^{alpha _{0}}cdot ,cdots ,cdot x_{n}^{alpha _{n}} mathrm {d} alpha }$

Это можно упростить, используя разделенные разности экспоненциальной функции, чтобы

${displaystyle L_{ ext{I}}left(x_{0},,dots ,,x_{n}ight)=n!exp left[ln left(x_{0}ight),,dots ,,ln left(x_{n}ight)ight]}$.

пример ${ extstyle n=2}$

${displaystyle L_{ ext{I}}(x,y,z)=-2{frac {xleft(ln left(yight)-ln left(zight)ight)+yleft(ln left(zight)-ln left(xight)ight)+zleft(ln left(xight)-ln left(yight)ight)}{left(ln left(xight)-ln left(yight)ight)left(ln left(yight)-ln left(zight)ight)left(ln left(zight)-ln left(xight)ight)}}}$.

Подключение к другим средствам

• Среднее арифметическое: ${displaystyle {frac {Lleft(x^{2},y^{2}ight)}{L(x,y)}}={frac {x+y}{2}}}$

• Среднее геометрическое: ${displaystyle {sqrt {frac {Lleft(x,yight)}{Lleft({frac {1}{x}},{frac {1}{y}}ight)}}}={sqrt {xy}}}$

• Гармоническое среднее: ${displaystyle {frac {Lleft({frac {1}{x}},{frac {1}{y}}ight)}{Lleft({frac {1}{x^{2}}},{frac {1}{y^{2}}}ight)}}={frac {2}{{frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}}}}$

Смотрите также

• Другое среднее значение, связанное с логарифмами, - это среднее геометрическое.
• Среднее логарифмическое - это частный случай Столярского.
• Средняя логарифмическая разница температур
• Полукольцо журнала

использованная литература

Цитаты

1. Б. К. Карлсон (1966). «Некоторые неравенства для гипергеометрических функций». Proc. Амер. Математика. Soc. 17: 32–39. Дои:10.1090 / s0002-9939-1966-0188497-6.
2. Б. Остле и Х. Л. Тервиллигер (1957). «Сравнение двух средств». Proc. Montana Acad. Наука. 17: 69–70.
3. Тунг-По Лин. «Среднее значение мощности и среднее логарифмическое значение». Американский математический ежемесячник. Дои:10.1080/00029890.1974.11993684.

Список используемой литературы

• Глоссарий по нефтяным месторождениям: термин «среднее логарифмическое»
• Вайсштейн, Эрик В. "Неравенство арифметико-логарифмического-среднего геометрического". MathWorld.
• Столярский, Кеннет Б.: Обобщения среднего логарифмического, Математический журнал, Vol. 48, № 2, март 1975 г., стр. 87–92.