О количестве простых чисел меньше заданной величины - On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude

Статья

"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (обычный английский перевод: "О количестве простых чисел меньше заданной величины") - это основополагающая 9-страничная статья автора Бернхард Риманн опубликовано в ноябрьском выпуске 1859 г. Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin.

Обзор

В данной статье исследуется функция подсчета простых чисел с использованием аналитических методов. Хотя это единственная статья, в которой Риман когда-либо публиковал теория чисел, он содержит идеи, которые оказали влияние на тысячи исследователей в конце 19 века и до наших дней. Работа состоит в основном из определения, эвристический аргументы, эскизы доказательства, и применение мощных аналитических методов; все это стало необходимым концепции и инструменты современное аналитическая теория чисел.

Среди введенных новых определений, идей и обозначений:

• Использование Греческая буква Зета (ζ) для функция ранее упомянутый Эйлер
• В аналитическое продолжение этого дзета-функция ζ (s) все сложный s ≠ 1
• В вся функция ξ (s), связанный с дзета-функцией через гамма-функция (или функция в использовании Римана)
• Дискретная функция J(Икс) определен для Икс ≥ 0, что определяется равенством J(0) = 0 и J(Икс) перескакивает на 1 /п при каждой основной мощности п^п. (Риман называет эту функцию ж(Икс).)

Среди доказательств и эскизов доказательств:

• Два доказательства функциональное уравнение из ζ (s)
• Схема доказательства произведения ξ (s)
• Схема доказательства аппроксимации числа корней ξ (s), мнимые части которого лежат между 0 и Т.

Среди сделанных домыслов:

• В Гипотеза Римана, что все (нетривиальные) нули ζ (s) имеют действительную часть 1/2. Риман формулирует это в терминах корней связанной функции ξ: «... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre аллердингс ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach eingeborlichähtigen Versuchenfürlüchtigen Verzuh eingeborlüchtigen. bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien ". То есть «весьма вероятно, что все корни реальны. Тем не менее, хотелось бы получить строгое доказательство этого; однако, после некоторых мимолетных тщетных попыток, я временно отложил поиск таковых, поскольку они кажутся ненужными. для следующей цели моего расследования ". (Он обсуждал версию дзета-функции, измененную так, чтобы ее корни были реальными, а не на критической линии.)

Новые методы и приемы, используемые в теории чисел:

• Функциональные уравнения, возникающие из автоморфных форм
• Аналитическое продолжение (хотя и не в духе Вейерштрасса)
• Контурная интеграция
• Обращение Фурье.

Риман также обсудил связь между ζ (s) и распределения простых чисел с помощью функции J(Икс) по существу как мера для Интеграция Стилтьеса. Затем он получил основной результат статьи - формулу для J(Икс), сравнивая с ln (ζ (s)). Затем Риман нашел формулу для функция подсчета простых чисел π (Икс) (который он называет F(Икс)). Он отмечает, что его уравнение объясняет тот факт, что π (Икс) растет медленнее, чем логарифмический интеграл, как было обнаружено Карл Фридрих Гаусс и Карл Вольфганг Бенджамин Гольдшмидт.

Статья содержит некоторые особенности для современного читателя, такие как использование (s - 1) вместо Γ (s), письмо тт вместо т², и используя границы из ∞ в ∞, чтобы обозначить контурный интеграл.

Рекомендации

• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Academic Press, ISBN  0-12-232750-0, Zbl  0315.10035

внешняя ссылка

• Рукопись Римана
• Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse (транскрипция статьи Римана)
• О количестве простых чисел меньше заданной величины (Английский перевод статьи Римана)