Теория мультипликативных чисел - Multiplicative number theory
Теория мультипликативных чисел является подполем аналитическая теория чисел это касается простые числа и с факторизация и делители. Обычно основное внимание уделяется разработке приблизительных формул для подсчета этих объектов в различных контекстах. В теорема о простых числах это ключевой результат в этой теме. В Классификация предметов математики для теории мультипликативных чисел - 11Nxx.
Объем
Мультипликативная теория чисел занимается в основном асимптотическими оценками для арифметические функции. Исторически в этой теме преобладали теорема о простых числах сначала попытками доказать это, а затем улучшением условия ошибки. В Проблема делителей Дирихле который оценивает средний порядок делительная функция d (n) и Проблема круга Гаусса которая оценивает средний порядок числа представлений числа как суммы двух квадратов, также являются классическими проблемами, и снова основное внимание уделяется улучшению оценок ошибок.
Распределение простых чисел среди классы остатков по модулю целого числа - это область активных исследований. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях показывает, что существует бесконечное количество простых чисел в каждом классе вычетов с взаимно простыми числами, а теорема о простых числах для арифметических прогрессий показывает, что простые числа асимптотически равнораспределенный среди классов остатков. В Теорема Бомбьери – Виноградова. дает более точное представление о том, насколько равномерно они распределены. Также большой интерес вызывает размер наименьшего простого числа в арифметической прогрессии; Теорема Линника дает оценку.
В гипотеза о простых близнецах, а именно, что существует бесконечное количество простых чисел п такой, что п+2 тоже простое, это предмет активных исследований. Теорема Чена показывает, что существует бесконечное количество простых чисел п такой, что п+2 либо простое число, либо произведение двух простых чисел.
Методы
Методы относятся в первую очередь к аналитическая теория чисел, но элементарные методы, особенно ситовые методы, тоже очень важны. В большое сито и экспоненциальные суммы обычно считаются частью теории мультипликативных чисел.
В распределение простых чисел тесно связано с поведением Дзета-функция Римана и Гипотеза Римана, и эти предметы изучаются как с теория чисел точка зрения и комплексный анализ точка зрения.
Стандартные тексты
Большая часть аналитическая теория чисел имеет дело с мультипликативными задачами, и поэтому большинство его текстов содержат разделы по мультипликативной теории чисел. Вот некоторые хорошо известные тексты, которые конкретно посвящены мультипликативным задачам:
- Давенпорт, Гарольд (2000). Теория мультипликативных чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-95097-6.
- Монтгомери, Хью; Роберт К. Воан (2005). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6.