Экспоненциальная сумма - Exponential sum

В математика, экспоненциальная сумма может быть конечным Ряд Фурье (т.е. тригонометрический полином ) или другой конечной суммы, образованной с помощью экспоненциальная функция, обычно выражается с помощью функции

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Следовательно, типичная экспоненциальная сумма может иметь вид

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

суммированный по конечному последовательность из действительные числа Икс_п.

Формулировка

Если мы допустим некоторые реальные коэффициенты а_п, чтобы получить форму

${\displaystyle \sum _{n}a_{n}e(x_{n})}$

это то же самое, что разрешить экспоненты, которые сложные числа. Обе формы, безусловно, полезны в приложениях. Большая часть двадцатого века аналитическая теория чисел был посвящен поиску хороших оценок этих сумм, тенденция, начатая основной работой Герман Вейль в диофантово приближение.

Оценки

Основная идея этой темы заключается в том, что сумма

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

является тривиально оценивается по количеству N терминов. Это абсолютная величина

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

посредством неравенство треугольника, поскольку каждое слагаемое имеет абсолютное значение 1. В приложениях хотелось бы большего. Это включает в себя доказательство некоторой отмены, или, другими словами, что эта сумма комплексных чисел на единичный круг не из чисел с одинаковыми аргумент. Лучшее, на что можно надеяться, - это оценка формы

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

что означает, что с точностью до подразумеваемой константы в нотация большой O, что сумма похожа на случайная прогулка в двух измерениях.

Такую оценку можно считать идеальной; это недостижимо во многих основных задачах, и по оценкам

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

должны использоваться, где o (N) представляет собой только небольшая экономия по тривиальной оценке. Типичной "небольшой экономией" может быть коэффициент log (N), Например. Даже такой кажущийся незначительным результат в правильном направлении должен быть полностью отнесен к структуре исходной последовательности. Икс_п, чтобы показать степень случайность. Используемые техники изобретательны и тонки.

Вариант «дифференцирования Вейля», исследованный Вейлем, включающий генерирующую экспоненциальную сумму

${\displaystyle G(\tau )=\sum _{n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

ранее изучался самим Вейлем, он разработал метод выражения суммы как значения ${\displaystyle G(0)}$, где 'G' можно определить с помощью линейного дифференциального уравнения, аналогичного Уравнение Дайсона получается суммированием по частям.

История

Если сумма имеет вид

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

где ƒ является гладкой функцией, мы могли бы использовать Формула Эйлера – Маклорена для преобразования ряда в интеграл, плюс некоторые поправки, связанные с производными от S(Икс), то при больших значениях а вы можете использовать метод «стационарной фазы», ​​чтобы вычислить интеграл и дать приблизительную оценку суммы. Основные достижения в этой области были Метод ван дер Корпута (ок. 1920 г.), относящиеся к принцип стационарной фазы, а позже Виноградова метод (ок. 1930).

В метод большого сита (c.1960), работа многих исследователей, является относительно прозрачным общим принципом; но ни один метод не имеет общего применения.

Типы экспоненциальной суммы

При формулировке конкретных задач используются разные типы сумм; приложения обычно требуют сведения к какому-либо известному типу, часто с помощью хитроумных манипуляций. Частичное суммирование можно использовать для удаления коэффициентов а_п, во многих случаях.

Основное различие между полная экспоненциальная сумма, который обычно представляет собой сумму по всем классы остатков по модулю какое-то целое число N (или более общий конечное кольцо ) и неполная экспоненциальная сумма где диапазон суммирования ограничен некоторыми неравенство. Примеры полных экспоненциальных сумм: Суммы Гаусса и Суммы Клоостермана; это в некотором смысле конечное поле или конечные кольцевые аналоги гамма-функция и какой-то Функция Бесселя соответственно, и обладают многими «структурными» свойствами. Примером неполной суммы является частичная сумма квадратичной суммы Гаусса (действительно, случай, исследованный Гаусс ). Здесь есть хорошие оценки сумм в более коротких диапазонах, чем для всего набора классов вычетов, потому что, с геометрической точки зрения, частичные суммы приближают Спираль Cornu; это подразумевает массовую отмену.

В теории встречаются вспомогательные типы сумм, например суммы персонажей; возвращаясь к Гарольд Давенпорт тезис. В Гипотезы Вейля имели основные приложения для полных сумм с областью, ограниченной полиномиальными условиями (т. е. вдоль алгебраическое многообразие над конечным полем).

Суммы Вейля

Один из наиболее общих типов экспоненциальной суммы - это Сумма Вейля, с показателем 2πесли(п) где ж является довольно общим вещественным гладкая функция. Это суммы, участвующие в распределении значений

ƒ(п) по модулю 1,

в соответствии с Критерий равнораспределения Вейля. Основной прогресс был Неравенство Вейля для таких сумм, для полинома ж.

Есть общая теория пары экспонент, который формулирует оценки. Важный случай, когда ж логарифмический, по отношению к Дзета-функция Римана. Смотрите также теорема равнораспределения.^[1]

Пример: квадратичная сумма Гаусса

Позволять п быть нечетным простым числом и пусть ${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$. Затем Квадратичная сумма Гаусса дан кем-то

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

где квадратные корни считаются положительными.

Это идеальная степень отмены, на которую можно надеяться без каких-либо априори знание структуры суммы, поскольку она соответствует масштабированию случайная прогулка.

Смотрите также

• Лемма Хуа

Рекомендации

1. Монтгомери (1994) стр.39.

• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Серия региональных конференций по математике. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.

дальнейшее чтение

• Коробов, Н. М. (1992). Экспоненциальные суммы и их приложения. Математика и ее приложения. Советская серия. 80. Перевод с русского Ю. Н. Шахов. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-1647-9. Zbl  0754.11022.

внешняя ссылка

• Краткое введение в суммы Вейля на Mathworld