Метод Ван дер Корпутса - Van der Corputs method - Wikipedia

В математике метод ван дер Корпута генерирует оценки для экспоненциальные суммы. В методе используются два процесса: Ван дер Корпута процессы A и B которые объединяют суммы в более простые суммы, которые легче оценить.

Процессы применяются к экспоненциальным суммам вида

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

куда ж достаточно гладкая функция и е(Икс) обозначает exp (2πiИкс).

Процесс А

Чтобы применить процесс A, напишите первое отличие ж_час(Икс) за ж(Икс+час)−ж(Икс).

Предположим, что есть ЧАС ≤ б−а такой, что

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .}$

потом

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .}$

Процесс B

Процесс B преобразует сумму, включающую ж в один, включающий функцию грамм определяется в терминах производной от f. Предположим, что f ' монотонно возрастает с увеличением ж'(а) = α, ж'(б) = β. потом ж'обратима на [α, β] с обратным ты сказать. Далее предположим ж'' ≥ λ> 0. Запишите

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

У нас есть

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

Снова применяя процесс B к сумме, включающей грамм возвращается к сумме свыше ж и поэтому не дает никакой дополнительной информации.

Пары экспонент

Методика пары экспонент дает класс оценок для функций с определенным свойством гладкости. Исправить параметры N,р,Т,s, δ. Мы рассматриваем функции ж определенный на интервале [N,2N] которые р раз непрерывно дифференцируемые, удовлетворяющие

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\ }$

равномерно на [а,б] для 0 ≤ р < р.

Мы говорим, что пара действительных чисел (k,л) с 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ л ≤ 1 - это пара экспонент если для каждого σ> 0 существует δ и р в зависимости от k,л, σ такие, что

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

равномерно в ж.

С помощью процесса A мы находим, что если (k,л) является парой показателей, то ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$. С помощью процесса B мы находим, что это так. ${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$.

Тривиальная оценка показывает, что (0,1) - пара экспонент.

Множество пар показателей выпукло.

Известно, что если (k,л) является парой показателей, то Дзета-функция Римана на критическая линия удовлетворяет

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

куда ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$.

В гипотеза о паре экспонент утверждает, что для всех ε> 0 пара (ε, 1/2 + ε) является парой показателей. Из этой гипотезы следует Гипотеза Линделёфа.

Рекомендации

• Ивич, Александар (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями. Нью-Йорк и др .: John Wiley & Sons. ISBN  0-471-80634-X. Zbl  0556.10026.
• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа. Серия региональных конференций по математике. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
• Шандор, Йожеф; Митринович, Драгослав С .; Crstici, Борислав, ред. (2006). Справочник по теории чисел I. Дордрехт: Springer-Verlag. ISBN  1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.