Квадратичная сумма Гаусса - Quadratic Gauss sum

В теория чисел, квадратичные суммы Гаусса являются некоторыми конечными суммами корней из единицы. Квадратичную сумму Гаусса можно интерпретировать как линейную комбинацию значений комплекса экспоненциальная функция с коэффициентами, заданными квадратичным характером; для общего характера получается более общий Сумма Гаусса. Эти объекты названы в честь Карл Фридрих Гаусс, которые тщательно их изучили и применили к квадратичный, кубический, и биквадратный законы взаимности.

Определение

Позволять п быть странным простое число и а целое число. Тогда Сумма Гаусса по модулю п, грамм(а; п), является следующей суммой пth корни единства:

${\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi ian^{2}}{p}}=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},\qquad \zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}.}$

Если а не делится на п, альтернативное выражение для суммы Гаусса (которое можно найти, вычислив

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\left(1+\left({\frac {n}{p}}\right)\right)\zeta _{p}^{n}}$

двумя разными способами)

${\displaystyle G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n)e^{\frac {2\pi ian}{p}}.}$

Здесь χ = (п/п) это Символ Лежандра, который является квадратичным характером по модулю п. Аналогичная формула общего характера χ вместо символа Лежандра определяет Сумма Гаусса грамм(χ).

Характеристики

• Величина суммы Гаусса равна алгебраическое целое число в пth круговое поле ℚ(ζ_п).
• Оценка суммы Гаусса сводится к случаю а = 1:

${\displaystyle g(a;p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1;p).}$

(Осторожно, это верно для нечетных п.)

• Точное значение суммы Гаусса, вычисленное Гауссом, дается формулой

${\displaystyle g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi in^{2}}{p}}={\begin{cases}{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 1{\pmod {4}},\\i{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$

Дело в том, что

${\displaystyle g(1;p)^{2}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p}$

было легко доказать и привело к одному из предложенных Гауссом доказательства квадратичной взаимности. Однако определение знак суммы Гаусса оказалось значительно труднее: Гаусс смог установить ее только после нескольких лет работы. Потом, Питер Густав Лежен Дирихле, Леопольд Кронекер, Иссай Шур и другие математики нашли разные доказательства.

Обобщенные квадратичные суммы Гаусса

Позволять а, б, c быть натуральные числа. В обобщенная сумма Гаусса грамм(а, б, c) определяется

${\displaystyle G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}},}$

Классическая сумма Гаусса - это сумма грамм(а, c) = грамм(а, 0, c).

Характеристики

• Сумма Гаусса грамм(а,б,c) зависит только от класс остатка из а и б по модулю c.
• Суммы Гаусса равны мультипликативный, т.е. заданные натуральные числа а, б, c, d с gcd (c, d) = 1 надо

${\displaystyle G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).}$

Это прямое следствие Китайская теорема об остатках.

• Надо грамм(а, б, c) = 0 если gcd (а, c) > 1 кроме случаев, когда gcd (а,c) разделяет б в этом случае есть

${\displaystyle G(a,b,c)=\gcd(a,c)\cdot G\left({\frac {a}{\gcd(a,c)}},{\frac {b}{\gcd(a,c)}},{\frac {c}{\gcd(a,c)}}\right)}$

Таким образом, при вычислении квадратичных сумм Гаусса всегда можно предположить gcd (а, c) = 1.

• Позволять а, б, c быть целыми числами с ac ≠ 0 и ac + б четное. Имеется следующий аналог квадратичная взаимность закон для (даже более общих) сумм Гаусса

${\displaystyle \sum _{n=0}^{|c|-1}e^{\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}}=\left|{\frac {c}{a}}\right|^{\frac {1}{2}}e^{\pi i{\frac {|ac|-b^{2}}{4ac}}}\sum _{n=0}^{|a|-1}e^{-\pi i{\frac {cn^{2}+bn}{a}}}.}$

• Определять

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {4}},\\i&{\text{if}}\ m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

для каждого нечетного целого числа м. Значения сумм Гаусса с б = 0 и gcd (а, c) = 1 явно даны

${\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ c\equiv 2{\pmod {4}},\\\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {a}{c}}\right)&{\text{if}}\ c\ {\text{is odd}},\\(1+i)\varepsilon _{a}^{-1}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {c}{a}}\right)&{\text{if}}\ a\ {\text{is odd}},4\mid c.\end{cases}}}$

Здесь (а/c) это Символ Якоби. Это знаменитая формула Карл Фридрих Гаусс.

• За б > 0 суммы Гаусса легко вычислить с помощью завершение квадрата в большинстве случаев. Однако в некоторых случаях это не удается (например, c даже и б odd), которые относительно легко вычислить другими способами. Например, если c это странно и gcd (а, c) = 1 надо

${\displaystyle G(a,b,c)=\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\cdot \left({\frac {a}{c}}\right)e^{-2\pi i{\frac {\psi (a)b^{2}}{c}}},}$

куда ψ(а) какое-то число с 4ψ(а)а ≡ 1 (мод c). Другой пример: если 4 делит c и б странно и как всегда gcd (а, c) = 1 тогда грамм(а, б, c) = 0. Это можно, например, доказать следующим образом: из-за мультипликативности сумм Гаусса нам нужно только показать, что грамм(а, б, 2^п) = 0 если п > 1 и а, б странно с gcd (а, c) = 1. Если б странно тогда ан² + млрд даже для всех 0 ≤ п < c − 1. К Лемма Гензеля, для каждого q, уравнение ан² + млрд + q = 0 имеет не более двух решений в ℤ/2^пℤ. Из-за счетного аргумента ан² + млрд проходит через все классы четных остатков по модулю c ровно два раза. В геометрическая сумма формула затем показывает, что грамм(а, б, 2^п) = 0.

• Если c это странно и свободный от квадратов и gcd (а, c) = 1 тогда

${\displaystyle G(a,0,c)=\sum _{n=0}^{c-1}\left({\frac {n}{c}}\right)e^{\frac {2\pi ian}{c}}.}$

Если c не свободен от квадратов, то правая сторона исчезает, а левая - нет. Часто правильную сумму также называют квадратичной суммой Гаусса.

• Еще одна полезная формула:

${\displaystyle G\left(n,p^{k}\right)=p\cdot G\left(n,p^{k-2}\right)}$

если k ≥ 2 и п нечетное простое число или если k ≥ 4 и п = 2.

Смотрите также

• Сумма Гаусса
• Гауссов период
• Сумма Куммера
• Соотношение Ландсберга – Шаара

Рекомендации

• Ирландия; Розен (1990). Классическое введение в современную теорию чисел. Springer-Verlag. ISBN  0-387-97329-X.
• Берндт, Брюс С .; Эванс, Рональд Дж .; Уильямс, Кеннет С. (1998). Суммы Гаусса и Якоби. Wiley and Sons. ISBN  0-471-12807-4.
• Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3633-1.