Сумма Клоостермана - Kloosterman sum

В математика, а Сумма Клоостермана это особый вид экспоненциальная сумма. Они названы в честь голландского математика. Хендрик Клоостерман, который представил их в 1926 г.^[1] когда он адаптировал Метод круга Харди – Литтлвуда для решения проблемы, связанной с положительно определенный диагональ квадратичные формы в четырех, а не в пяти или более переменных, которые^{[нечеткий ]} он затронул в своей диссертации в 1924 году.^[2]

Позволять а, б, м быть натуральные числа. потом

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}$

Здесь Икс* является инверсией Икс по модулю м.

Контекст

Суммы Клоостермана - это конечное кольцо аналог Функции Бесселя. Они встречаются (например) в разложении Фурье модульные формы.

Есть приложения к значения величин с участием Дзета-функция Римана, простые числа в коротких интервалах, простые числа в арифметических прогрессиях, спектральная теория автоморфных функций и смежные вопросы.

Свойства сумм Клоостермана

• Если а = 0 или же б = 0 то сумма Клоостермана сводится к Рамануджанская сумма.
• K(а, б; м) зависит только от класса остатка а и б по модулю м. более того K(а, б; м) = K(б, а; м) и K(ac, б; м) = K(а, до н.э; м) если gcd (c, м) = 1.
• Позволять м = м₁м₂ с м₁ и м₂ coprime. выбирать п₁ и п₂ такой, что п₁м₁ ≡ 1 мод м₂ и п₂м₂ ≡ 1 мод м₁. потом

${\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}$

Это сводит оценку сумм Клоостермана к случаю, когда м = п^k для простого числа п и целое число k ≥ 1.

• Значение K(а, б; м) всегда алгебраический настоящий номер. Фактически K(а, б; м) является элементом подполя ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} }$ который является составом полей

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}$

куда п пробегает все нечетные простые числа, такие что п^α || м и

${\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}$

за 2^α || м с α > 3.

• Личность Сельберга:

${\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}$

было заявлено Атле Сельберг и впервые доказано Кузнецовым с помощью спектральная теория из модульные формы. В настоящее время известны элементарные доказательства этого тождества.^[3]

• За п нечетное простое число, нет известной простой формулы для K(а, б; п), а Гипотеза Сато – Тэйта предполагает, что ничего не существует. Однако приведенные ниже формулы подъема часто так же хороши, как и явная оценка. Если gcd (а, п) = 1 у одного также есть важное преобразование:

${\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}$

куда ${\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}$ обозначает Символ Якоби.

• Позволять м = п^k с k > 1, п премьер и принять gcd (п, 2ab) = 1. Потом:

${\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

куда ℓ выбирается так, чтобы ℓ² ≡ ab мод м и ε_м определяется следующим образом (заметим, что м нечетно):

${\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}}$

Эта формула была впервые найдена Гансом Сали.^[4] и в литературе есть много простых доказательств.^[5]

Оценки

Поскольку суммы Клоостермана входят в разложение Фурье модулярных форм, оценки сумм Клоостермана также дают оценки коэффициентов Фурье модулярных форм. Самая известная оценка принадлежит Андре Вайль и заявляет:

${\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}$

Здесь ${\displaystyle \tau (m)}$ - количество положительных делителей числа м. Ввиду мультипликативных свойств сумм Клоостермана эти оценки сводятся к случаю, когда м это простое число п. Фундаментальный прием Вейля снижает оценку

${\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}$

когда ab ≠ 0 к его результатам на локальные дзета-функции. Геометрически сумма берется по «гиперболе». XY = ab и мы рассматриваем это как определение алгебраическая кривая над конечным полем с п элементы. Эта кривая имеет разветвленный Покрытие Артина – Шрайера C, а Вейль показал, что локальная дзета-функция C имеет факторизацию; это L-функция Артина теория для случая глобальные поля которые являются функциональными полями, для которых Вейль приводит в качестве ссылки статью Дж. Вайссинджера 1938 г. (в следующем году он дал статью 1935 г. Hasse как более ранняя ссылка на идею; учитывая довольно уничижительное замечание Вейля о способности теоретиков-аналитиков самостоятельно разработать этот пример, в его Сборник статей, эти идеи предположительно были «фольклором» довольно давно). Неполярные факторы относятся к типу 1 − Kt, куда K это сумма Клоостермана. Оценка следует из основной работы Вейля 1940 года.

Фактически, этот метод показывает в более общем плане, что полные экспоненциальные суммы "вдоль" алгебраических многообразий имеют хорошие оценки в зависимости от Гипотезы Вейля в размере> 1. Это было продвинуто намного дальше Пьер Делинь, Жерар Лаумон, и Николас Кац.

Короткие суммы Клоостермана

Короткие суммы Клоостермана определяются как тригонометрические суммы вида

${\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}$

куда п проходит через множество А чисел, взаимно простых с м, количество элементов ${\displaystyle \|A\|}$ в котором существенно меньше, чем м, а символ ${\displaystyle n^{*}}$ обозначает класс конгруэнции, обратный к п по модулю м: ${\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.}$

До начала 1990-х годов оценки сумм такого типа были известны в основном в том случае, когда число слагаемых было больше √м. Такие оценки были связаны с Х. Д. Клоостерман, Виноградов И. М., Х. Сали, Л. Карлитц, С. Учияма и А. Вайль. Единственным исключением были специальные модули формы м = п^α, куда п фиксированное простое число, а показатель степени α возрастает до бесконечности (этот случай изучался Постников А.Г. с помощью метода Иван Матвеевич Виноградов ).

В 1990-е годы Анатолий Алексеевич Карацуба развитый^[6][7][8] новый метод оценки коротких сумм Клоостермана. Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, количество слагаемых в которых не превышает ${\displaystyle m^{\varepsilon }}$, а в некоторых случаях даже ${\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}$, куда ${\displaystyle \varepsilon >0}$ - сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А.А. Карацуба на эту тему ^[9] был опубликован после его смерти.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение при решении следующих задач аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида:

${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}$

куда п проходит один за другим целые числа, удовлетворяющие условию ${\displaystyle (n,m)=1}$, и п пробегает простые числа, не делящие модуль м (А.А. Карацуба);

• оценка снизу числа решений неравенств вида:

${\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }$

в целых числах п, 1 ≤ п ≤ Икс, взаимно проста с м, ${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$ (А.А.Карацуба);

• точность приближения произвольного действительного числа в отрезке [0, 1] по дробным частям формы:

${\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}$

куда ${\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}$ (А.А.Карацуба);

• более точная константа c в Теорема Бруна – Титчмарша.  :

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$

куда ${\displaystyle \pi (x;q,l)}$ это количество простых чисел п, не превышающий Икс и принадлежащие арифметической прогрессии ${\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}$ (Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида: п³ + 2, N < п ≤ 2N.(Д. Р. Хит-Браун );

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида: а² + б⁴.(Дж. Фридлендер, Х. Иванец );

• комбинаторные свойства множества чисел (А.А. Глибичук):

${\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}$

Повышение сумм Клоостермана

Хотя суммы Клоостермана не могут быть вычислены в целом, они могут быть «подняты» до полей алгебраических чисел, что часто дает более удобные формулы. Позволять ${\displaystyle \tau }$ быть целым числом без квадратов с ${\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1.}$ Предположим, что для любого простого множителя п из м у нас есть

${\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}$

Тогда для всех целых чисел а, б взаимно простой с м у нас есть

${\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}$

Здесь Ω (м) количество простых делителей м считая множественность. Сумму справа можно интерпретировать как сумму более алгебраические целые числа в поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).}$ Эта формула принадлежит Янбо Е, вдохновленному Дон Загир и продление работы Эрве Жаке и Е на относительной формула следа за GL (2).^[10] Действительно, можно поднять гораздо более общие экспоненциальные суммы.^[11]

Формула следа Кузнецова

Основная статья: Формула следа Кузнецова

Кузнецов или относительный след формула связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфные формы. Первоначально это можно было сформулировать так. Позволять ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ быть достаточно "хорошо себя "функция. Тогда можно назвать тождества следующего типа Формула следа Кузнецова:

${\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.}$

Часть интегрального преобразования - это некоторая интегральное преобразование из грамм а спектральная часть представляет собой сумму коэффициентов Фурье, взятых над пространствами голоморфных и неголоморфных модулярных форм, скрученных с некоторым интегральным преобразованием грамм. Формула следа Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций с нулевым весом.^[12] Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки коэффициентов Фурье модулярных форм в случаях, когда Пьер Делинь доказательство Гипотезы Вейля не применимо.

Позже он был переведен Жаке на теоретические представления рамки. Позволять грамм быть восстановительная группа через числовое поле F и ${\displaystyle H\subset G}$ быть подгруппой. Хотя обычный формула следа изучает гармонический анализ на грамм, формула относительного следа - инструмент для изучения гармонического анализа на симметричное пространство грамм/ЧАС. Для обзора и многочисленных приложений смотрите ссылки.^[13]

История

Теперь оценку Вейля можно изучить в В. М. Шмидт, Уравнения над конечными полями: элементарный подход, 2-е изд. (Кендрик Пресс, 2004). Основные идеи здесь связаны с С. Степанов и черпать вдохновение из Аксель Туэ работает в Диофантово приближение.

Между суммами Клоостермана и модульные формы. Фактически, суммы впервые появились (без названия) в газете 1912 г. Анри Пуанкаре на модульных формах. Ханс Салье ввел форму суммы Клоостермана, которая скручивается на Dirichlet персонаж:^[14] Такой Суммы Салье иметь элементарную оценку.^[4]

После открытия важных формул, связывающих суммы Клоостермана с неголоморфные модульные формы Кузнецовым в 1979 году, который содержал некоторую «среднюю экономию» по сравнению с оценкой квадратного корня, были дальнейшие разработки Иванец и Deshouillers в основополагающей статье в Inventiones Mathematicae (1982). Последующие приложения к аналитической теории чисел были разработаны рядом авторов, в частности Bombieri, Фуври, Фридлендер и Иванец.

Поле остается несколько недоступным. Подробное введение в спектральная теория необходимые для понимания формул Кузнецова даны в R.C.Baker, Суммы Клоостермана и формы Маасса, т. I (Кендрик пресс, 2003). Также актуальным для студентов и исследователей, заинтересованных в этой области, является Иванец и Ковальский (2004).

Итан Чжан использовал суммы Клоостермана в своем доказательстве ограниченных пробелов между простыми числами.^[15]

Примечания

1. Клоостерман, Х. О представлении чисел в виде топор² + к² + cz² + dt², Acta Mathematica 49 (1926), стр. 407–464
2. Клоостерман, Х. Over het splitsen van geheele positieve getallen in een some van kwadraten, Диссертация (1924) Universiteit Leiden
3. Маттес, Р. Элементарное доказательство формулы Кузнецова для сумм Клоостермана, Resultate Math. 18 (1-2), страницы: 120–124, (1990).
4. Ханс Сали, Uber die Kloostermanschen Summen S (u, v; q), Математика. Zeit. 34 (1931–32) с. 91–109.
5. Уильямс, Кеннет С. Примечание о сумме Клоостермана, Труды Американского математического общества 30 (1), страницы: 61–62, (1971).
6. Карацуба, А. А. (1995). «Аналоги сумм Клоостерманса». Изв. Росс. Акад. Наук, сер. Математика. (59:5): 93–102.
7. Карацуба, А. А. (1997). «Аналоги неполных сумм Клоостермана и их приложения». Татры Математика. Publ. (11): 89–120.
8. Карацуба, А.А. (1999). «Двойные суммы Клоостермана». Мат. Заметки (66:5): 682–687.
9. Карацуба, А.А. (2010). «Новые оценки коротких сумм Клоостермана». Мат. Заметки (88:3—4): 347–359.
10. Е, Ю. Повышение суммы Клоостермана, Журнал теории чисел 51, страницы: 275-287, (1995).
11. Е, Ю. Подъем экспоненциальной суммы до поля циклических алгебраических чисел простой степени, Труды Американского математического общества 350 (12), страницы: 5003-5015, (1998).
12. Кузнецов Н.В., Гипотеза Петерсона о формах нулевого веса и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана, Математика СССР-Сборник 39 (3), (1981).
13. Когделл, Дж. и И. Пятецкий-Шапиро, Арифметический и спектральный анализ рядов Пуанкаре, том 13 из Перспективы в математике. Academic Press Inc., Бостон, Массачусетс, (1990).
14. Lidl & Niederreiter (1997) с.253.
15. https://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/Yitang_Zhang.pdf

Рекомендации

• Архипов, Г.И .; Чубариков, В.Н .; Карацуба, А.А. (2004). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе. выставки де Грюйтера по математике. 39. Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-016266-0. Zbl  1074.11043.
• Иванец, Хенрик; Ковальский, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел. Публикации коллоквиума. 53. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3633-1. Zbl  1059.11001.
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997). Конечные поля. Энциклопедия математики и ее приложений. 20 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-39231-4. Zbl  0866.11069.
• Вайль, Андре (1948). «О каких-то экспоненциальных суммах». Proc. Natl. Акад. Sci. 34: 204–207. Zbl  0032.26102.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Клоостермана». MathWorld.
• "Сумма Клоостермана". PlanetMath.