Теорема Грина – Тао - Green–Tao theorem

В теория чисел, то Теорема Грина – Тао, доказано Бен Грин и Теренс Тао в 2004 г., говорится, что последовательность простые числа содержит произвольно длинный арифметические прогрессии. Другими словами, для каждого натурального числа k, существуют арифметические прогрессии простых чисел с k термины. Доказательство является продолжением Теорема Семереди. Проблема восходит к исследованиям Лагранж и Waring примерно с 1770 г.^[1]

Заявление

Позволять ${displaystyle pi (N)}$ обозначают количество простых чисел, меньших или равных ${displaystyle N}$. Если ${displaystyle A}$ - подмножество простых чисел, такое что

${displaystyle limsup _{Nightarrow infty }{dfrac {|Acap [1,N]|}{pi (N)}}>0}$,

тогда для всех натуральных чисел ${displaystyle k}$, набор ${displaystyle A}$ содержит бесконечно много арифметических прогрессий длины ${displaystyle k}$. В частности, весь набор простых чисел содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

В их более поздних работах по обобщению Гипотеза Харди – Литтлвуда, Грин и Тао сформулировали и условно доказали асимптотическую формулу

${displaystyle ({mathfrak {S}}_{k}+o(1)){frac {N^{2}}{(log N)^{k}}}}$

для количества k наборы простых чисел ${displaystyle p_{1}<p_{2}<dotsb <p_{k}leq N}$ в арифметической прогрессии.^[2] Здесь, ${displaystyle {mathfrak {S}}_{k}}$ постоянная

${displaystyle {mathfrak {S}}_{k}:={frac {1}{2(k-1)}}left(prod _{pleq k}{frac {1}{p}}left({frac {p}{p-1}}ight)^{k-1}ight)left(prod _{p>k}left(1-{frac {k-1}{p}}ight)left({frac {p}{p-1}}ight)^{k-1}ight)}$.

Результат был сделан Грин – Тао безусловным. ^[3] и Грин – Тао – Циглер.^[4]

Обзор доказательства

Доказательство Грина и Тао состоит из трех основных компонентов:

1. Теорема Семереди, который утверждает, что подмножества целых чисел с положительной верхней плотностью имеют сколь угодно длинные арифметические прогрессии. Это не априори применяются к простым числам, потому что простые числа имеют нулевую плотность в целых числах.
2. Принцип переноса, расширяющий теорему Семереди на подмножества целых чисел, которые в подходящем смысле являются псевдослучайными. Такой результат теперь называется относительной теоремой Семереди.
3. Псевдослучайное подмножество целых чисел, содержащее простые числа как плотное подмножество. Для создания этого набора Грин и Тао использовали идеи из работы Голдстона, Пинца и Йылдырым о основные промежутки.^[5] Как только псевдослучайность множества установлена, можно применить принцип переноса, завершая доказательство.

Многочисленные упрощения аргументации в исходной статье^[1] были найдены. Конлон, Фокс и Чжао (2014) представить современное изложение доказательства.

Числовая работа

Доказательство теоремы Грина – Тао не показывает, как найти прогрессии простых чисел; это просто доказывает, что они существуют. Была проведена отдельная вычислительная работа для нахождения больших арифметических прогрессий в простых числах.

В статье Green-Tao говорится: «На момент написания самой длинной известной арифметической прогрессии простых чисел была длина 23, и она была обнаружена в 2004 году Маркусом Фриндом, Полом Андервудом и Полом Джоблингом: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k = 0, 1,. . ., 22. '.

18 января 2007 года Ярослав Врублевский обнаружил первый известный случай 24 простые числа в арифметической прогрессии:^[6]

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 23.

Константа 223092870 здесь является произведением простых чисел до 23 (см. первобытный ).

17 мая 2008 года Врублевски и Раанан Чермони нашли первый известный случай 25 простых чисел:

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 24.

12 апреля 2010 г. Беноат Перишон с программным обеспечением Врублевски и Джеффа Рейнольдса в распределенном PrimeGrid проект нашел первый известный случай 26 простых чисел (последовательность A204189 в OEIS ):

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · п, за п = От 0 до 25.

Расширения и обобщения

Многие из расширения теоремы Семереди справедливо и для простых чисел.

Независимо, Тао и Циглер^[7] и Кук, Мадьяр и Титичетракун^[8][9] вывел многомерное обобщение теоремы Грина – Тао. Доказательство Тао – Циглера также было упрощено Фоксом и Чжао.^[10]

В 2006 году Тао и Циглер расширили теорему Грина – Тао на полиномиальные прогрессии.^[11][12] Точнее, учитывая любые целочисленные многочлены п₁,..., п_k в одном неизвестном м все с постоянным членом 0, существует бесконечно много целых чисел Икс, м такой, что Икс + п₁(м), ..., Икс + п_k(м) одновременно просты. Частный случай, когда многочлены м, 2м, ..., км подразумевает предыдущий результат, что есть длина k арифметические прогрессии простых чисел.

Тао доказал аналог теоремы Грина – Тао для Простые числа Гаусса.^[13]

Смотрите также

• Гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях
• Арифметическая комбинаторика

Рекомендации

1. Грин, Бен; Тао, Теренс (2008). «Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии». Анналы математики. 167 (2): 481–547. arXiv:math.NT / 0404188. Дои:10.4007 / летопись.2008.167.481. МИСТЕР  2415379..
2. Грин, Бен; Тао, Теренс (2010). «Линейные уравнения в простых числах». Анналы математики. 171 (3): 1753–1850. arXiv:математика / 0606088. Дои:10.4007 / анналы.2010.171.1753. МИСТЕР  2680398.
3. Грин, Бен; Тао, Теренс (2012). «Функция Мёбиуса сильно ортогональна нильпоследовательностям». Анналы математики. 175 (2): 541–566. arXiv:0807.1736. Дои:10.4007 / анналы.2012.175.2.3. МИСТЕР  2877066.
4. Грин, Бен; Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2012). «Обратная теорема для Us + 1 [N] -нормы Гауэрса». Анналы математики. 172 (2): 1231–1372. arXiv:1009.3998. Дои:10.4007 / анналы.2012.176.2.11. МИСТЕР  2950773.
5. Голдстон, Дэниел А .; Пинц, Янош; Йылдырым, Джем Й. (2009). «Простые числа в кортежах. I». Анналы математики. 170 (2): 819–862. arXiv:математика / 0508185. Дои:10.4007 / летопись 2009.170.819. МИСТЕР  2552109.
6. Андерсен, Йенс Крузе. «Простые числа в записях арифметической прогрессии». Получено 2015-06-27.
7. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2015). «Многомерная теорема Семереди для простых чисел через принцип соответствия». Israel J. Math. 207 (1): 203–228. arXiv:1306.2886. Дои:10.1007 / s11856-015-1157-9. МИСТЕР  3358045.
8. Кук, Брайан; Мадьяр, Акос (2012). "Созвездия в ${displaystyle mathbb {P} ^{d}}$". Int. Математика. Res. Нет. IMRN. 2012 (12): 2794–2816. Дои:10.1093 / imrn / rnr127. МИСТЕР  2942710.
9. Кук, Брайан; Мадьяр, Акос; Титичетракун, Татчай (2015). «Многомерная теорема Семереди в простых числах». arXiv:1306.3025 [math.NT ].
10. Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2015). «Краткое доказательство многомерной теоремы Семереди в простых числах». Амер. J. Math. 137 (4): 1139–1145. arXiv:1307.4679. Дои:10.1353 / ajm.2015.0028. МИСТЕР  3372317.
11. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2008). «Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии». Acta Mathematica. 201 (2): 213–305. arXiv:math.NT / 0610050. Дои:10.1007 / s11511-008-0032-5. МИСТЕР  2461509.
12. Тао, Теренс; Циглер, Тамар (2013). «Исправление к« Простые числа содержат сколь угодно длинные полиномиальные прогрессии »». Acta Mathematica. 210 (2): 403–404. Дои:10.1007 / s11511-013-0097-7. МИСТЕР  3070570.
13. Тао, Теренс (2006). «Гауссовские простые числа содержат созвездия произвольной формы». J. Anal. Математика. 99 (1): 109–176. arXiv:математика / 0501314. Дои:10.1007 / BF02789444. МИСТЕР  2279549.

дальнейшее чтение

• Конлон, Дэвид; Фокс, Джейкоб; Чжао, Юфэй (2014). «Теорема Грина – Тао: изложение». Обзоры EMS по математическим наукам. 1 (2): 249–282. arXiv:1403.2957. Дои:10.4171 / EMSS / 6. МИСТЕР  3285854.
• Гауэрс, Тимоти (2010). «Разложения, приближенная структура, перенос и теорема Хана – Банаха». Бюллетень Лондонского математического общества. 42 (4): 573–606. arXiv:0811.3103. Дои:10.1112 / blms / bdq018. МИСТЕР  2669681.
• Грин, Бен (2007). «Длинные арифметические прогрессии простых чисел». В Duke, Уильям; Чинкель, Юрий (ред.). Аналитическая теория чисел. Труды по математике из глины. 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 149–167. ISBN  978-0-8218-4307-9. МИСТЕР  2362199.
• Ведущий, Бернард (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Арифметические прогрессии в простых числах (по Б. Грина и Т. Тао)] (PDF). Astérisque (на французском языке) (307): 229–246. МИСТЕР  2296420.
• Кра, Брына (2006). «Теорема Грина – Тао об арифметических прогрессиях в простых числах: эргодическая точка зрения». Бюллетень Американского математического общества . 43 (1): 3–23. Дои:10.1090 / S0273-0979-05-01086-4. МИСТЕР  2188173.
• Тао, Теренс (2006). «Арифметические прогрессии и простые числа». Collectanea Mathematica. Vol. Экстра: 37–88. МИСТЕР  2264205. Архивировано из оригинал на 2015-08-05. Получено 2015-06-05.
• Тао, Теренс (2006). «Препятствия к единообразию и арифметические закономерности в простых числах». Чистая и прикладная математика Ежеквартально. 2 (2): 395–433. arXiv:математика / 0505402. Дои:10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a2. МИСТЕР  2251475.
• Тао, Теренс (2007-01-07). «Лекция AMS: Структура и случайность в простых числах».