Характеристики экспоненциальной функции - Characterizations of the exponential function

В математика, то экспоненциальная функция возможно характеризует во многих отношениях. Следующие ниже характеристики (определения) являются наиболее распространенными. В этой статье обсуждается, почему каждая характеристика имеет смысл и почему характеристики независимы и эквивалентны друг другу. В качестве частного случая этих соображений будет продемонстрировано, что три наиболее общих определения, данные для математическая константа е эквивалентны друг другу.

Характеристики

Шесть наиболее распространенных определений экспоненциальной функции ехр (Икс) = е^Икс серьезно Икс находятся:

1. Определите е^Икс посредством предел

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

2. Определите е^Икс как ценность бесконечная серия

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

(Здесь п! обозначает факториал из п. Один доказательство того, что е иррационально использует это представление.)

3. Определите е^Икс быть уникальным числом у > 0 такой, что

${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$

Это как обратное натуральный логарифм функция, которая определяется этим интегралом.

4. Определите е^Икс быть уникальным решением проблема начального значения

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

(Здесь, у′ обозначает производная из у.)

5. Показательная функция ж(Икс) = е^Икс это уникальный Лебег-измеримая функция с ж(1) = е это удовлетворяет

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y){\text{ for all }}x{\text{ and }}y}$

(Хьюитт и Стромберг, 1965, упражнение 18.46).

В качестве альтернативы это уникальный везденепрерывная функция с этими свойствами (Рудин, 1976, глава 8, упражнение 6). Термин «непрерывно где угодно» означает, что существует хотя бы одна точка. Икс на котором ж(Икс) непрерывно. Как показано ниже, если ж(Икс + у) = ж(Икс) ж(у) для всех Икс и у, и ж(Икс) непрерывно на любой единственная точка Икс, тогда ж(Икс) обязательно непрерывно повсюду.

(В качестве контрпримера, если нет предполагая непрерывность или измеримость, можно доказать существование всюду разрывной неизмеримой функции с этим свойством, используя Основа Гамеля для действительных чисел над рациональными, как описано у Хьюитта и Стромберга.)

Потому что ж(Икс) = е^Икс гарантируется рациональное Икс по указанным выше свойствам (см. ниже) можно также использовать монотонность или другие свойства, чтобы обеспечить выбор е^Икс для иррационального Икс,^{[нужна цитата ]} но такие альтернативы кажутся необычными.

Можно также заменить условия, которые ж(1) = е и это ж быть измеримыми по Лебегу или непрерывными в любом месте с единственным условием, что f ′(0) = 1.

6. Пусть е быть уникальным действительным числом, удовлетворяющим

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$

Можно показать, что этот предел существует. Это определение особенно подходит для вычисления производной экспоненциальной функции. Затем определите е^Икс быть экспоненциальной функцией с этим основанием.

Большие домены

Один из способов определения экспоненциальной функции для областей, больших, чем область действительных чисел, состоит в том, чтобы сначала определить ее для области действительных чисел, используя одну из вышеперечисленных характеристик, а затем расширить ее на более крупные области таким образом, который будет работать для любых аналитическая функция.

Также возможно использовать характеристики непосредственно для более крупной области, хотя могут возникнуть некоторые проблемы. (1), (2) и (4) имеют смысл для произвольных Банаховы алгебры. (3) представляет проблему для комплексных чисел, потому что существуют неэквивалентные пути, по которым можно интегрировать, а (5) недостаточно. Например, функция ж определено (для Икс и у реальный) как

${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$

удовлетворяет условиям (5) и не является экспоненциальной функцией отИкс + иу. Чтобы сделать (5) достаточным для области комплексных чисел, можно либо указать, что существует точка, в которой ж это конформная карта или иначе укажите, что

${\displaystyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1).}$

В частности, альтернативное условие в (5), что ${\displaystyle f'(0)=1}$ достаточно, поскольку он неявно предусматривает, что ж быть конформным.

Доказательство того, что каждая характеристика имеет смысл

Некоторые из этих определений требуют обоснования, чтобы продемонстрировать, что они четко определенный. Например, когда значение функции определяется как результат ограничивающий процесс (т.е. бесконечная последовательность или же серии ), необходимо показать, что такой предел существует всегда.

Характеристика 2

С

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$

это следует из тест соотношения который ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ сходится для всех Икс.

Характеристика 3

Поскольку подынтегральное выражение является интегрируемая функция из т, интегральное выражение определено корректно. Необходимо показать, что функция из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ к ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определяется

${\displaystyle \int _{1}^{(\cdot )}{\frac {dt}{t}}}$

это биекция. В качестве ${\displaystyle t^{-1}}$ положительный для положительного т, эта функция монотонно возрастающий, следовательно один к одному. Если два интеграла

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$

подождите, тогда он, очевидно, тоже включен. Действительно, эти интегралы делать держать; они следуют из интегральный тест и расхождение гармонический ряд.

Эквивалентность характеристик

Следующее доказательство демонстрирует эквивалентность первых трех характеристик, данных для е над. Доказательство состоит из двух частей. Сначала устанавливается эквивалентность характеризаций 1 и 2, а затем устанавливается эквивалентность характеризаций 1 и 3. Также приводятся аргументы, связывающие другие характеристики.

Эквивалентность характеристик 1 и 2

Следующее рассуждение адаптировано из доказательства у Рудина, теорема 3.31, с. 63–65.

Позволять ${\displaystyle x\geq 0}$ быть фиксированным неотрицательным действительным числом. Определять

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Посредством биномиальная теорема,

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$

(с помощью Икс ≥ 0, чтобы получить окончательное неравенство), так что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$

куда е^Икс в смысле определения 2. Здесь хромота необходимо использовать, потому что неизвестно, если т_п сходится. Для другого направления, согласно приведенному выше выражению т_п, если 2 ≤м ≤ п,

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$

Исправить м, и разреши п приближаются к бесконечности. потом

${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

(опять таки, Liminf необходимо использовать, потому что неизвестно, т_п сходится). Теперь, принимая указанное выше неравенство, полагая м приближаются к бесконечности, и, сложив это вместе с другим неравенством, это становится

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

так что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$

Эту эквивалентность можно распространить на отрицательные действительные числа, отметив ${\displaystyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$ и переходя к пределу, когда n стремится к бесконечности.

Член ошибки этого предельного выражения описывается

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$

где степень полинома (в Икс) в члене со знаменателем п^k 2k.

Эквивалентность характеристик 1 и 3

Здесь натуральный логарифм функция определяется в терминах определенного интеграла, как указано выше. К первой части основная теорема исчисления,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$

Помимо, ${\displaystyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0}$

Теперь позвольте Икс - любое фиксированное действительное число, и пусть

${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Ln (у) = Икс, откуда следует, что у = е^Икс, куда е^Икс в смысле определения 3. Имеем

${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Здесь непрерывность ln (у), что следует из непрерывности 1 /т:

${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$

Здесь результат lnа^п = ппера был использован. Этот результат может быть установлен для п натуральное число по индукции или с помощью интегрирования путем замены. (Расширение реальных полномочий должно подождать, пока пер и exp были установлены как обратные друг другу, так что а^б можно определить по-настоящему б в качестве е^{б пера}.)

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$

${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$

${\displaystyle \!\,=x.}$

Эквивалентность характеристик 3 и 4

Характеристика 3 включает определение натурального логарифма до определения экспоненциальной функции. Первый,

${\displaystyle \log x:=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Это означает, что натуральный логарифм ${\displaystyle x}$ равна (знаковой) площади под графиком ${\displaystyle 1/t}$ между ${\displaystyle t=1}$ и ${\displaystyle t=x}$. Если ${\displaystyle x<1}$, то эта область считается отрицательной. Потом, ${\displaystyle \exp }$ определяется как инверсия ${\displaystyle \log }$, означающий, что

${\displaystyle \exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x}$

по определению обратной функции. Если ${\displaystyle a}$ положительное действительное число, тогда ${\displaystyle a^{x}}$ определяется как ${\displaystyle \exp(x\log(a))}$. Ну наконец то, ${\displaystyle e}$ определяется как число ${\displaystyle a}$ такой, что ${\displaystyle \log(a)=1}$. Затем можно показать, что ${\displaystyle e^{x}=\exp(x)}$:

${\displaystyle e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)}$

Посредством основная теорема исчисления, производная от ${\displaystyle \log x={\frac {1}{x}}}$. Теперь мы можем доказать, что ${\displaystyle {\frac {d(e^{x})}{dx}}=e^{x}}$, удовлетворяющая первой части начальной задачи, данной в характеристике 4:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}}$

Тогда мы просто должны отметить, что ${\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1}$, и мы закончили. Конечно, гораздо легче показать, что характеристика 4 подразумевает характеристику 3. Если ${\displaystyle e^{x}}$ уникальная функция ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ удовлетворение ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$, и ${\displaystyle f(0)=1}$, тогда ${\displaystyle \log }$ можно определить как обратное. Производная от ${\displaystyle \log }$ можно найти следующим образом:

${\displaystyle y=\log x\implies x=e^{y}}$

Если мы дифференцируем обе стороны по ${\displaystyle y}$, мы получили

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x}$

Эквивалентность характеристик 2 и 4

Пусть n - целое неотрицательное число. В смысле определения 4 и по индукции ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$.

Следовательно ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

С помощью Серия Тейлор,${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$ Это показывает, что из определения 4 следует определение 2.

В смысле определения 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$

Помимо, ${\displaystyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$ Это показывает, что из определения 2 следует определение 4.

Эквивалентность характеристик 1 и 5

Следующее доказательство является упрощенной версией доказательства Хьюитта и Стромберга, упражнение 18.46. Во-первых, доказывается, что измеримость (или здесь интегрируемость по Лебегу) влечет непрерывность ненулевой функции ${\displaystyle f(x)}$ удовлетворение ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$, а затем доказывается, что из непрерывности следует ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ для некоторых k, и наконец ${\displaystyle f(1)=e}$ подразумевает k=1.

Во-первых, несколько элементарных свойств из ${\displaystyle f(x)}$ удовлетворение ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$ доказаны, и предположение, что ${\displaystyle f(x)}$ не равно нулю тождественно:

• Если ${\displaystyle f(x)}$ отличен от нуля где угодно (скажем, на Икс=у), то он всюду ненулевой. Доказательство: ${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$ подразумевает ${\displaystyle f(x)\neq 0}$.
• ${\displaystyle f(0)=1}$. Доказательство: ${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ не равно нулю.
• ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$. Доказательство: ${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$.
• Если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывно где угодно (скажем, на Икс = у), то он всюду непрерывен. Доказательство: ${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ по преемственности нау.

Второе и третье свойства означают, что достаточно доказать ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ для положительногоИкс.

Если ${\displaystyle f(x)}$ это Интегрируемая по Лебегу функция, тогда

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).}$

С ${\displaystyle f(x)}$ отличен от нуля, некоторые у можно выбрать так, чтобы ${\displaystyle g(y)\neq 0}$ и решить для ${\displaystyle f(x)}$ в приведенном выше выражении. Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$

Окончательное выражение должно стремиться к нулю как ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ поскольку ${\displaystyle g(0)=0}$ и ${\displaystyle g(x)}$ непрерывно. Следует, что ${\displaystyle f(x)}$ непрерывно.

Сейчас же, ${\displaystyle f(q)=e^{kq}}$ может быть доказано, для некоторых k, для всех положительных рациональных чисел q. Позволять q=п/м для положительных целых чисел п и м. потом

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$

элементарной индукцией по п. Следовательно, ${\displaystyle f(1/m)^{m}=f(1)}$ и поэтому

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}$

за ${\displaystyle k=\ln[f(1)]}$. Если ограничиваться реальными ценностями ${\displaystyle f(x)}$, тогда ${\displaystyle f(x)=f(x/2)^{2}}$ везде положительный и так k реально.

Наконец, по непрерывности, поскольку ${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$ для всех рациональных Икс, это должно быть верно для всех настоящих Икс так как закрытие рациональных чисел - это реальные числа (то есть любые реальные Икс можно записать как предел последовательности рациональных чисел). Если ${\displaystyle f(1)=e}$ тогда k = 1. Это эквивалентно характеристике 1 (или 2, или 3), в зависимости от того, какое эквивалентное определение е один использует.

Характеристика 2 подразумевает характеристику 6

В смысле определения 2,^[1]

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle =1}$

Характеристика 5 подразумевает характеристику 4

Условия f '(0) = 1 и ж(Икс + у) = ж(Икс) ж(у) подразумевают оба условия в характеристике 4. Действительно, мы получаем начальное условие ж(0) = 1 разделив обе части уравнения

${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$

к ж(0), и условие, что f ′(Икс) = ж(Икс) следует из условия, что f ′(0) = 1 и определение производной следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}}$

Характеристика 6 подразумевает характеристику 4

В смысле определения 6, ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.}$Кстати ${\displaystyle e^{0}=1}$, поэтому из определения 6 следует определение 4.

Рекомендации

1. [1]

• Вальтер Рудин, Принципы математического анализа, 3-е издание (McGraw – Hill, 1976), глава 8.
• Эдвин Хьюитт и Карл Стромберг, Реальный и абстрактный анализ (Спрингер, 1965).