P-адическая экспоненциальная функция - P-adic exponential function

В математика, особенно п-адический анализ, то п-адическая экспоненциальная функция это п-адический аналог обычного экспоненциальная функция на сложные числа. Как и в сложном случае, у него есть обратная функция, названная п-адический логарифм.

Определение

Обычная экспоненциальная функция на C определяется бесконечным рядом

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Совершенно аналогично определяется экспоненциальная функция на C_п, пополнение алгебраического замыкания Q_п, к

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Однако, в отличие от exp, который сходится на всех C, exp_п только сходится на диске

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

Это потому что п-адические ряды сходятся тогда и только тогда, когда слагаемые стремятся к нулю, и поскольку п! в знаменателе каждого слагаемого имеет тенденцию делать их очень большими п-действительно, довольно небольшое значение z необходимо в числителе.

п-адическая функция логарифма

Силовой ряд

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

сходится для Икс в C_п удовлетворение |Икс|_п <1 и таким образом определяет п-адическая функция логарифма бревно_п(z) для |z − 1|_п <1, удовлетворяющий обычному журналу свойств_п(zw) = журнал_пz + журнал_пш. Журнал функций_п может быть распространен на все C ×
п  (множество ненулевых элементов C_п), установив, что он продолжает удовлетворять этому последнему свойству, и установив log_п(п) = 0. В частности, каждый элемент ш из C ×
п  можно записать как ш = п^р· Ζ ·z с р рациональное число, ζ корень из единицы порядка простого п, и |z − 1|_п < 1,^[1] в этом случае журнал_п(ш) = журнал_п(z).^[2] Эта функция на C ×
п  иногда называют Логарифм Ивасавы чтобы подчеркнуть выбор бревна_п(п) = 0. На самом деле существует расширение логарифма от |z − 1|_п <1 ко всем C ×
п  за каждый выбор бревна_п(п) в C_п.^[3]

Характеристики

Если z и ш оба находятся в радиусе сходимости для exp_п, то их сумма тоже равна и у нас есть обычная формула сложения: exp_п(z + ш) = exp_п(z) exp_п(ш).

Аналогично, если z и ш ненулевые элементы C_п затем войти_п(zw) = журнал_пz + журнал_пш.

За z в области exp_п, имеем exp_п(бревно_п(1+z)) = 1+z и журнал_п(exp_п(z)) = z.

Корни логарифма Ивасавы_п(z) являются в точности элементами C_п формы п^р· Ζ где р - рациональное число, а ζ - корень из единицы.^[4]

Отметим, что аналогов в C_п из Тождество Эйлера, е^2πi = 1. Это следствие Теорема Штрассмана.

Еще одно важное отличие от ситуации в C состоит в том, что область сходимости exp_п намного меньше, чем журнал_п. Модифицированная экспоненциальная функция - Показательная величина Артина – Хассе - можно использовать вместо него, который сходится на |z|_п < 1.

Примечания

1. Коэн 2007, Предложение 4.4.44
2. В факторинге ш как и выше, есть выбор корня, участвующего в написании п^р поскольку р рационально; однако разные варианты выбора отличаются только умножением на корень из единицы, который поглощается множителем ζ.
3. Коэн 2007, §4.4.11
4. Коэн 2007, Предложение 4.4.45

Рекомендации

• Глава 12 Касселс, Дж. У. С. (1986). Местные поля. Тексты студентов Лондонского математического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31525-5.
• Коэн, Анри (2007), Теория чисел, Том I: Инструменты и диофантовы уравнения, Тексты для выпускников по математике, 239, Нью-Йорк: Springer, Дои:10.1007/978-0-387-49923-9, ISBN  978-0-387-49922-2, МИСТЕР  2312337

внешняя ссылка

• «p-адический экспоненциальный и p-адический логарифм». PlanetMath.