Постоянная Гельфонда – Шнайдера - Gelfond–Schneider constant

Не путать с Постоянная Гельфонда.

В Постоянная Гельфонда – Шнайдера или же Число Гильберта^[1] является два к мощность из квадратный корень из двух:

2^√2 = 2.6651441426902251886502972498731...

который оказался трансцендентное число к Родион Кузьмин в 1930 г.^[2]В 1934 г. Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо доказал более общий Теорема Гельфонда – Шнайдера,^[3] который решил часть Седьмая проблема Гильберта описано ниже.

Характеристики

В квадратный корень постоянной Гельфонда – Шнайдера является трансцендентным числом

${\displaystyle {\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}=1.6325269\ldots }$.

Эту же константу можно использовать, чтобы доказать, что «иррациональное, возведенное в иррациональную силу, может быть рациональным», даже без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство проводится следующим образом: либо √2^√2 рационально, что доказывает теорему, или иррационально (как оказалось), и тогда

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}=\left({\sqrt {2}}\right)^{\left({\sqrt {2}}{\sqrt {2}}\right)}=\left({\sqrt {2}}\right)^{2}=2}$

является иррациональным для иррациональной силы, которая является рациональной, что доказывает теорему.^[4][5] Доказательства нет конструктивный, поскольку он не говорит, какой из двух случаев верен, но это намного проще, чем Кузьмина доказательство.

Седьмая проблема Гильберта

Основная статья: Седьмая проблема Гильберта

Часть седьмая из Двадцать три проблемы Гильберта выдвинутой в 1900 году, чтобы доказать или найти контрпример тому, что а^б всегда трансцендентен для алгебраических а ≠ 0, 1 и иррациональные алгебраические б. В своем обращении он привел два явных примера, один из которых - постоянная Гельфонда – Шнайдера 2.^√2.

В 1919 году он прочитал лекцию о теория чисел и высказал три предположения: Гипотеза Римана, Последняя теорема Ферма, и трансцендентность 2^√2. Он сказал аудитории, что не ожидал, что кто-то в зале проживет достаточно долго, чтобы увидеть доказательство этого окончательного результата.^[6] Но доказательство трансцендентности этого числа было опубликовано Кузьминым в 1930 г.^[2] хорошо внутри Гильберта своя жизнь. А именно, Кузьмин доказал случай, когда показатель б настоящий квадратичный иррациональный, который позже был распространен на произвольный алгебраический иррациональный б Гельфонда и Шнайдера.

Смотрите также

• Постоянная Гельфонда

Рекомендации

1. Курант, Р.; Роббинс, Х. (1996), Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам, Oxford University Press, стр. 107
2. Кузьмин Р.О. (1930). «О новом классе трансцендентных чисел». Известия Академии Наук СССР, сер. матем. 7: 585–597.
3. Александр Гельфонд (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Класс математических наук и др.. VII (4): 623–634.
4. Джарден Д. (1953), «Куриоза: простое доказательство того, что степень иррационального числа в иррациональной экспоненте может быть рациональной», Scripta Mathematica, 19: 229.
5. Jones, J. P .; Топоровский, С. (1973), "Иррациональные числа", Американский математический ежемесячный журнал, 80: 423–424, Дои:10.2307/2319091, МИСТЕР  0314775,
6. Дэвид Гильберт, Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920.

дальнейшее чтение

• Рибенбойм, Пауло (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел. Universitext. Springer-Verlag. ISBN  0-387-98911-0. Zbl  0947.11001.
• Тийдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда – Бейкера и его приложениях». В Феликс Э. Браудер (ред.). Математические разработки, возникающие из проблем Гильберта. Труды симпозиумов по чистой математике. XXVIII.1. Американское математическое общество. С. 241–268. ISBN  0-8218-1428-1. Zbl  0341.10026.