Аддитивная идентичность - Additive identity

В математика, то аддитивная идентичность из набор который оснащен операция из добавление является элемент который при добавлении к любому элементу Икс в наборе дает Икс. Одна из наиболее известных аддитивных идентичностей - это номер 0 из элементарная математика, но аддитивные тождества встречаются в других математических структурах, где определено сложение, например, в группы и кольца.

Элементарные примеры

Аддитивная идентичность, знакомая по элементарная математика равен нулю, обозначается 0.^[1] Например,
${displaystyle 5 + 0 = 5 = 0 + 5}$
в натуральные числа N и все его суперсеты (в целые числа Z, то рациональное число Q, то действительные числа р или сложные числа C) аддитивная идентичность равна 0. Таким образом, для любого из этих числа п,
${displaystyle n + 0 = n = 0 + n}$

Формальное определение

Позволять N быть группа который закрыт под операция из добавление, обозначенный +. Аддитивная идентичность для N, обозначенный е,^[2] это элемент в N так что для любого элемента п в N,

е + п = п = п + е

Пример: формула: n + 0 = n = 0 + n.

Дальнейшие примеры

В группа, аддитивная идентичность - это элемент идентичности группы, часто обозначается 0 и единственна (см. доказательство ниже).
А звенеть или же поле является группой при операции сложения, и поэтому они также имеют уникальную аддитивную идентичность 0. Это определено как отличное от мультипликативная идентичность 1 если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивная идентичность и мультипликативная идентичность совпадают, то кольцо банальный (доказано ниже).
В кольце M_м×п(р) из м к п матрицы над кольцом р, аддитивная единица - нулевая матрица,^[3] обозначенный О^[2] или же 0, и является м к п матрица, элементы которой полностью состоят из единичного элемента 0 в р. Например, в матрицах 2 на 2 над целыми числами M₂(Z) аддитивная идентичность
${displaystyle 0 = {egin {pmatrix} 0 & 0 0 & 0end {pmatrix}}}$
в кватернионы, 0 - аддитивное тождество.
В кольце функции из р к р, функция отображение каждое число до 0 является аддитивной идентичностью.
в аддитивная группа из векторов в р^п, происхождение или нулевой вектор аддитивная идентичность.

Характеристики

Аддитивная идентичность уникальна в группе

Позволять (грамм, +) - группа и пусть 0 и 0 'в грамм оба обозначают аддитивные тождества, поэтому для любого грамм в грамм,

0 + грамм = грамм = грамм + 0 и 0 '+ грамм = грамм = грамм + 0'

Из сказанного выше следует, что

0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0

Аддитивная идентичность аннулирует элементы кольца

В системе с операцией умножения, которая распределяет поверх сложения, аддитивная идентичность является мультипликативной поглощающий элемент, что означает, что для любого s в S, s 路 0 = 0. Это видно потому, что:

{displaystyle {egin {выравнивается} scdot 0 & = scdot (0 + 0) = scdot 0 + scdot 0 Rightarrow scdot 0 & = scdot 0-scdot 0 Rightarrow scdot 0 & = 0end {выравнивается}}}

Аддитивное и мультипликативное тождества различны в нетривиальном кольце

Позволять р кольцо, и предположим, что аддитивное тождество 0 и мультипликативное тождество 1 равны, или 0 = 1. Пусть р быть любым элемент из р. потом

р = р × 1 = р × 0 = 0

доказывая, что р тривиально, то есть р = {0}. В контрапозитивный, что если р нетривиально, то 0 не равно 1, поэтому показано.

Смотрите также

Библиография

Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра, Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0-471-43334-9.

внешняя ссылка

Единственность аддитивной идентичности в кольце в PlanetMath.org.

[1] «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-09-07.

[:0-2] а ^б «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-07.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Аддитивная идентичность». mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-07.

[1]

[2]

[3]