Абелев интеграл - Abelian integral

В математика, абелев интеграл, названный в честь норвежского математика Нильс Хенрик Абель, является интеграл в комплексная плоскость формы

${\displaystyle \int _{z_{0}}^{z}R(x,w)\,dx,}$

куда ${\displaystyle R(x,w)}$ произвольный рациональная функция двух переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle w}$, которые связаны уравнением

${\displaystyle F(x,w)=0,}$

куда ${\displaystyle F(x,w)}$ является неприводимый многочлен в ${\displaystyle w}$,

${\displaystyle F(x,w)\equiv \varphi _{n}(x)w^{n}+\cdots +\varphi _{1}(x)w+\varphi _{0}\left(x\right),}$

чьи коэффициенты ${\displaystyle \varphi _{j}(x)}$, ${\displaystyle j=0,1,\ldots ,n}$ находятся рациональные функции из ${\displaystyle x}$. Величина абелевого интеграла зависит не только от пределов интегрирования, но и от пути, по которому интеграл берется; Таким образом, это многозначная функция из ${\displaystyle z}$.

Абелевы интегралы являются естественным обобщением эллиптические интегралы, возникающие при

${\displaystyle F(x,w)=w^{2}-P(x),\,}$

куда ${\displaystyle P\left(x\right)}$ является многочленом степени 3 или 4. Другой частный случай абелевого интеграла - это гиперэллиптический интеграл, куда ${\displaystyle P(x)}$в приведенной выше формуле - многочлен степени выше 4.

История

Теория абелевых интегралов берет начало с работы Абеля.^[1] опубликована в 1841 году. Эта статья была написана во время его пребывания в Париже в 1826 году и представлена Огюстен-Луи Коши в октябре того же года. Эта теория, позже полностью развитая другими,^[2] был одним из важнейших достижений математики XIX века и оказал большое влияние на развитие современной математики. Говоря более абстрактным и геометрическим языком, он содержится в концепции абелева разновидность, а точнее, как алгебраическая кривая можно отобразить в абелевы разновидности. Позднее абелев интеграл был связан с выдающимся математиком Дэвид Гильберт с 16-я проблема и продолжает считаться одним из главных вызовов современному математический анализ.

Современный вид

В теории Римановы поверхности, абелев интеграл - это функция, связанная с неопределенный интеграл из дифференциал первого рода. Предположим, нам дана риманова поверхность ${\displaystyle S}$ и на нем дифференциальная 1-форма ${\displaystyle \omega }$ это везде голоморфный на ${\displaystyle S}$, и зафиксировать точку ${\displaystyle P_{0}}$ на ${\displaystyle S}$, из которого можно интегрировать. Мы можем рассматривать

${\displaystyle \int _{P_{0}}^{P}\omega }$

как многозначная функция ${\displaystyle f\left(P\right)}$, или (лучше) честная функция выбранного пути ${\displaystyle C}$ нарисован ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle P_{0}}$ к ${\displaystyle P}$. С ${\displaystyle S}$ в целом будет многосвязный следует указать ${\displaystyle C}$, но фактически значение будет зависеть только от класс гомологии из ${\displaystyle C}$.

В случае ${\displaystyle S}$ а компактная риманова поверхность из род 1, т.е. эллиптическая кривая, такими функциями являются эллиптические интегралы. Следовательно, с логической точки зрения абелев интеграл должен быть такой функцией, как ${\displaystyle f}$.

Такие функции были впервые введены для изучения гиперэллиптические интегралы, т.е. для случая, когда ${\displaystyle S}$ это гиперэллиптическая кривая. Это естественный шаг в теории интегрирования к случаю интегралов, содержащих алгебраические функции ${\displaystyle {\sqrt {A}}}$, куда ${\displaystyle A}$ это многочлен степени ${\displaystyle >4}$. Первые важные идеи теории были даны Абелем; позже он был сформулирован в терминах Якобиева многообразие ${\displaystyle J\left(S\right)}$. Выбор ${\displaystyle P_{0}}$ дает начало стандарту голоморфная функция

${\displaystyle S\to J(S)}$

из комплексные многообразия. Он обладает определяющим свойством, что голоморфные 1-формы на ${\displaystyle S\to J(S)}$, из которых есть грамм независимые, если грамм это род S, отступить к основе дифференциалов первого рода наS.

Примечания

1. Авель 1841.
2. Аппель и Гурсат 1895, п. 248.

Рекомендации

• Абель, Нильс Х. (1841). "Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes". Mémoires pésentés par divers savants à l’Académie Royale des Sciences de l’Institut de France (На французском). Париж. С. 176–264.
• Аппель, Пол; Гурса, Эдуард (1895). Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales (На французском). Париж: Готье-Виллар.
• Блисс, Гилберт А. (1933). Алгебраические функции. Провиденс: Американское математическое общество.
• Форсайт, Эндрю Р. (1893). Теория функций комплексного переменного. Провиденс: Издательство Кембриджского университета.
• Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1978). Принципы алгебраической геометрии. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
• Нойман, Карл (1884). Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abel'schen Integrale (2-е изд.). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер.