Двойственность Тейт - Tate duality - Wikipedia

В математика, Двойственность Тейт или же Двойственность Пуату – Тейта это теорема двойственности для Когомологии Галуа группы модулей над Группа Галуа из поле алгебраических чисел или же местное поле, представлен Джон Тейт  (1962 ) и Жоржа Пуату (1967 ).

Локальная двойственность Тейт

Основная статья: местная двойственность Тейт

Для п-адическое локальное поле ${\displaystyle k}$, местная двойственность Тейт говорит, что существует идеальное сочетание конечные группы

${\displaystyle \displaystyle H^{r}(k,M)\times H^{2-r}(k,M')\rightarrow H^{2}(k,G_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

куда ${\displaystyle M}$ - схема конечных групп и ${\displaystyle M'}$ его двойной ${\displaystyle \operatorname {Hom} (M,G_{m})}$.Для локального поля характеристики ${\displaystyle p>0}$, утверждение аналогично, за исключением того, что пара принимает значения в ${\displaystyle H^{2}(k,\mu )=\bigcup _{p\nmid n}{\tfrac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$.^[1] Утверждение справедливо и для архимедовых полей, хотя определение групп когомологий в этом случае выглядит несколько иначе.

Глобальная двойственность Тейт

Для конечной групповой схемы ${\displaystyle M}$ над глобальным полем ${\displaystyle k}$, глобальная двойственность Тейта связывает когомологии ${\displaystyle M}$ с этим из ${\displaystyle M'=\operatorname {Hom} (M,G_{m})}$ используя построенные выше локальные пары. Это делается через карты локализации.

${\displaystyle \alpha _{r,M}:H^{r}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M),}$

куда ${\displaystyle v}$ варьируется во всех местах ${\displaystyle k}$, и где ${\displaystyle \prod '}$ обозначает ограниченное произведение относительно неразветвленных групп когомологий. Суммирование локальных пар дает каноническое идеальное сочетание

${\displaystyle {\prod _{v}}'H^{r}(k_{v},M)\times {\prod _{v}}'H^{2-r}(k_{v},M')\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Одна часть дуальности Пуату-Тэйта утверждает, что при этом соединении образ ${\displaystyle H^{r}(k,M)}$ имеет аннигилятор, равный изображению ${\displaystyle H^{2-r}(k,M')}$ за ${\displaystyle r=0,1,2}$.

Карта ${\displaystyle \alpha _{r,M}}$ имеет конечное ядро ​​для всех ${\displaystyle r}$, а Тейт также строит каноническое совершенное спаривание

${\displaystyle {\text{ker}}(\alpha _{1,M})\times \ker(\alpha _{2,M'})\rightarrow \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Эти двойственности часто представлены в виде точной последовательности из девяти членов.

${\displaystyle 0\rightarrow H^{0}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{0}(k_{v},M)\rightarrow H^{2}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{1}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{1}(k_{v},M)\rightarrow H^{1}(k,M')^{*}}$

${\displaystyle \rightarrow H^{2}(k,M)\rightarrow {\prod _{v}}'H^{2}(k_{v},M)\rightarrow H^{0}(k,M')^{*}\rightarrow 0.}$

Здесь звездочка обозначает двойственную по Понтрягину группу данной локально компактной абелевой группы.

Все эти утверждения были представлены Тейт в более общем виде в зависимости от набора мест. ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle k}$, причем приведенные выше утверждения являются формой его теорем для случая, когда ${\displaystyle S}$ содержит все места ${\displaystyle k}$. Для более общего результата см., Например,Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 г., Теорема 8.4.4).

Двойственность Пуату – Тейта

Среди других утверждений двойственность Пуату – Тейта устанавливает идеальное соединение между определенными Группы Шафаревича. Учитывая глобальное поле ${\displaystyle k}$, множество S простых чисел и максимальное расширение ${\displaystyle k_{S}}$ который не разветвляется снаружи S, группы Шафаревича охватывают, в широком смысле, те элементы когомологий ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{S}/k)}$ которые обращаются в нуль в когомологиях Галуа локальных полей, относящихся к простым числам из S.^[2]

Расширение случая, когда кольцо S-целые ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ заменяется регулярной схемой конечного типа над ${\displaystyle \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{S}}$ был показан Гейссер и Шмидт (2017) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFGeisserSchmidt2017 (помощь).

Смотрите также

• Двойственность Артина – Вердье
• Тейт-спаривание

Рекомендации

1. Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 г., Теорема 7.2.6)
2. Видеть Нойкирх, Шмидт и Вингберг (2000 г., Теорема 8.6.8) для точной формулировки.

• Geisser, Thomas H .; Шмидт, Александр (2018), "Двойственность Пуату-Тата для арифметических схем", Compositio Mathematica, 154 (9): 2020–2044, arXiv:1709.06913, Bibcode:2017arXiv170906913G, Дои:10.1112 / S0010437X18007340
• Хаберланд, Клаус (1978), Когомологии Галуа полей алгебраических чисел, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, МИСТЕР  0519872
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Спрингер, ISBN  3-540-66671-0, МИСТЕР  1737196
• Пуату, Жорж (1967), "Propriétés globales des modules finis", Cohomologie galoisienne des modules finis, Séminaire de l'Institut de l'Institut de Mathématiques de Lille, sous la direction de G. Poitou. Travaux et Recherches Mathématiques, 13, Paris: Dunod, pp. 255–277, МИСТЕР  0219591
• Тейт, Джон (1963), "Теоремы двойственности в когомологиях Галуа над числовыми полями", Труды Международного конгресса математиков (Стокгольм, 1962 г.), Дюрсхольм: Ин-т. Mittag-Leffler, стр. 288–295, МИСТЕР  0175892, заархивировано из оригинал на 2011-07-17