Двойственность Артина – Вердье - Artin–Verdier duality - Wikipedia

В математика, Двойственность Артина – Вердье это двойственность теорема для конструктивного абелева снопы над спектр кольца из алгебраические числа, представлен Майкл Артин и Жан-Луи Вердье  (1964 ), что обобщает Двойственность Тейт.

Это показывает, что насколько etale (или же плоский ) когомология обеспокоен, кольцо целых чисел в числовое поле ведет себя как 3-х мерный математический объект.

Заявление

Позволять Икс быть спектр из кольцо целых чисел в полностью воображаемый числовое поле K, и F а конструктивный эталь абелева связка на Икс. Тогда Йонеда спаривание

${\displaystyle H^{r}(X,F)\times \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})\to H^{3}(X,\mathbb {G} _{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

это невырожденное спаривание конечных абелевых групп для любого целого р.

Здесь, ЧАС^р(X, F) это р-го этальные когомологии группа схема Икс со значениями в F, и Ext^р(F, G) - группа р-расширения эталонной связки грамм эталонной связкой F в категория этальных абелевых пучков на ИКС. Более того, грамм_м обозначает этальный пучок единицы в структурная связка из ИКС.

Кристофер Денингер  (1986 ) доказал двойственность Артина – Вердье для конструктивных, но не обязательно торсионных пучков. Для такой связки F, указанное выше спаривание индуцирует изоморфизмы

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{r}(X,F)^{*}&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})&&r=0,1\\H^{r}(X,F)&\cong \operatorname {Ext} ^{3-r}(F,\mathbb {G} _{m})^{*}&&r=2,3\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle (-)^{*}=\operatorname {Hom} (-,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

Конечные плоские групповые схемы

Позволять U - открытая подсхема спектра кольца целых чисел в числовом поле K, и F конечная плоская коммутативная групповая схема над U. Тогда чашка продукта определяет невырожденное спаривание

${\displaystyle H^{r}(U,F^{D})\times H_{c}^{3-r}(U,F)\to H_{c}^{3}(U,{\mathbb {G} }_{m})=\mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

конечных абелевых групп для всех целых чисел р.

Здесь F^D обозначает Картье двойной из F, которая является еще одной конечной плоской коммутативной групповой схемой над U. Более того, ${\displaystyle H^{r}(U,F)}$ это р-го плоские когомологии группа схемы U со значениями в плоском абелевом пучке F, и ${\displaystyle H_{c}^{r}(U,F)}$ это р-го плоские когомологии с компактными носителями из U со значениями в плоском абелевом пучке Ф.

В плоские когомологии с компактными носителями определяется, чтобы дать начало длинной точной последовательности

${\displaystyle \cdots \to H_{c}^{r}(U,F)\to H^{r}(U,F)\to \bigoplus \nolimits _{v\notin U}H^{r}(K_{v},F)\to H_{c}^{r+1}(U,F)\to \cdots }$

Сумма берется по всем места из K, которых нет в U, в том числе архимедовы. Местный вклад ЧАС^р(K_v, F) это Когомологии Галуа из Хенселизация K_v из K на месте v, модифицированный а-ля Тейт:

${\displaystyle H^{r}(K_{v},F)=H_{T}^{r}(\mathrm {Gal} (K_{v}^{s}/K_{v}),F(K_{v}^{s})).}$

Здесь ${\displaystyle K_{v}^{s}}$ является разделимым замыканием ${\displaystyle K_{v}.}$

Рекомендации

• Артин, Майкл; Вердье, Жан-Луи (1964), "Семинар по этальным когомологиям числовых полей", Конспекты лекций подготовлены в связи с проведенными в летнем институте семинарами по алгебраической геометрии. Поместье Уитни, Вудс-Хоул, Массачусетс. 6 - 31 июля 1964 г. (PDF), Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, заархивировано из оригинал (PDF) на 2011-05-26
• Денингер, Кристофер (1986), «Расширение двойственности Артина-Вердье на неонторсионные пучки», Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 366: 18–31, Дои:10.1515 / crll.1986.366.18, МИСТЕР  0833011
• Мазур, Барри (1973), «Заметки об этальных когомологиях числовых полей», Научные Анналы Высшей Нормальной Школы, Сери 4, 6: 521–552, ISSN  0012-9593, МИСТЕР  0344254
• Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (Второе изд.), БукСурдж, ООО, стр. viii + 339, ISBN  1-4196-4274-X